Движение в центрально-симметричном поле (стр. 4 из 6)
(3,3)При отрицательных энергиях
есть вещественное положительное число. Уравнение (3,2) после подстановки (3,3) приобретает вид
(3,4)( штрихи обозначают дифференцирование по
).При малых
решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, пропорционально 
( см. (1,15)). Для выяснения асимптотического поведения 
при больших 
опускаем в (3,4) члены с 
и 
и получаем уравнение
откуда
. Интересующее нас исчезающее на бесконечности решение, следовательно, при больших ведет себя, как 
.Виду этого естественно сделать подстановку
, (3,5)после чего уравнение (3,4) принимает вид
(3,6)Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности быстрее конечной степени
, а при =0 должно быть конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция
(3,7)Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых отрицательных ( или равных нулю ) значениях
, когда функция (3,7) сводится к полиному степени 
. В противном случае она расходится на бесконечности, как 
.Таким образом, мы приходим к выводу, что число
должно быть целым положительным, причем при данном 
должно быть
(3,8)Вспоминая определение (3,3) параметра
, находим
(3,9)Этим решается задача об определении уровнем энергии дискретного спектра в кулоновском поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем
и нулем. Интервалы между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением 
; уровни сгущаются по мере приближения к значению 
, при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула (3,9) имеет следующий вид:
(3,10)Целое число
называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число, определенное в п.1, равно
.При заданном значении главного квантового числа число
может принимать значения
(3,11)всего
различных значений. В выражение (3,9) для энергии входит только число . Поэтому все состояния с различными 
, но одинаковыми обладают одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу 
( как при всяком движении в центрально-симметричном поле ), но и по числу 
. Это последнее вырождение ( о нем говорят, как о случайном или кулоновом ) специфично именно для кулонового поля. Каждому данному значению соответствует 
различных значений 
; поэтому кратность вырождения - го уровня энергии равна
(3,12)Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (3,5), (3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому
.Радиальные функции должны быть нормированы условием
.Их окончательный вид следующий:
(3,13)Вблизи начала координат
имеет вид
(3,14)На больших расстояниях
. (3,15)Волновая функция
нормального состояния затухает экспоненциально на расстояниях порядка 
, т.е. в обычных единицах, 
.Средние значения различных степеней
вычисляются по формуле
.Приведем несколько первых величин
( с положительными и отрицательными 
):
, 
,
, 
. (3,16)Непрерывный спектр.
Спектр положительных собственных значений непрерывен и простирается от нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с бесконечной кратностью; каждому значению
соответствует бесконечное множество состояний с 
, пробегающими все целые значения от 
до 
( и со всеми возможными, при данных , значениями ).Определяемое формулами (3,3) число
и переменная теперь чисто мнимы:
, 
, (3,17)