Движение в центрально-симметричном поле (стр. 3 из 6)

.

Решенное относительно

, это уравнение дает выражение вида

(2,6)

Переходя теперь к пределу

, находим, что ( напоминаем, что ). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений уравнения Шредингера (2,1) должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность менее быстро:

.

Пусть теперь

. Тогда и комплексны:

.

Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (2,6), которое при подстановке значений

и дает

. (2,8)

При

это выражение не стремится ни к какому определенному пределу. Так что прямой переход к пределу невозможен. С учетом (2,8) общий вид вещественного решения может быть написан следующим образом:

. (2,9)

Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением

. Поскольку, с одной стороны, выражение (2,9) справедливо для волновой функции ( при достаточно малых ) при любом конечном значении энергии частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить, что «нормальное состояние2 частицы в рассматриваемом поле соответствует энергии . Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится в основном в области пространства, в которой . Поэтому при частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т.е. происходит «падение» частицы в центр.

«Критическое» поле

, при котором становится возможным падение частицы в центр, соответствует значению . Наименьшее значение коэффициента при получается при , т.е.

. (2,10)

Из формулы (2,8) ( для

) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера ( вблизи точки, где ) расходится при не быстрее чем . Если поле обращается при в бесконечность медленнее чем , то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь по сравнению с остальными членами, и мы получим те же решения, что и для свободного движения, т.е. . Наконец, если поле обращается в бесконечность быстрее чем ( как с ), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна . Во всех этих случаях произведение обращается при в нуль.

Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле, спадающем на больших расстояниях по закону

при произвольном его виде на малых расстояниях. Предположим сначала, что . Легко видеть, что в этом случае может существовать лишь конечное число отрицательных уровней энергии[1]. Действительно, при энергии уравнение Шредингера на больших расстояниях имеет вид (2,1) с общим решением (2,4). Но функция (2,4)не имеет ( при ) нулей; поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их число, во всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер уровня , замыкающего дискретный спектр, конечен.

Если же

, то дискретный спектр содержит бесконечное число отрицательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния имеет на больших расстояниях вид (2,9) с бесконечным числом нулей, так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.

Наконец, пусть поле

во всем пространстве. Тогда при происходит падение частицы. Если же , то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния будет во всем пространстве вида (2,7); она не имеет вовсе нулей на конечных расстояниях, т.е. соответствует наиболее низкому (при данном ) уровню энергии.

3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является движение в кулоновом поле

(

- положительная постоянная ). Мы будем рассматривать сначала кулоново притяжение, соответственно чему будем писать . Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет дискретным ( с бесконечным числом уровней ), а спектр положительных энергий – непрерывным.

Уравнение (1,8) для радиальных функций имеет вид

(3,1)

Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то под

надо подразумевать их приведенную массу.

В вычислениях, связанных с кулоновским полем, удобно пользоваться вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы будем называть кулоновскими единицами. Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и времени выберем соответственно

Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет

.

Далее будем пользоваться этими единицами.

Уравнение (3,1) в новых единицах принимает вид

(3,2)

Дискретный спектр.

Введем вместо параметра

и переменной новые величины: