Фононы (стр. 4 из 4)
Суммарная плотность состояний равна
(2.2.19)Окончательно получим, что
, L 
(2.2.20)На рисунке (4) полученная параболическая зависимость и есть фононный спектр кристаллов в приближении Дебая.
Недостатком является то, что в области высоких частот или малых длин волн плотность стремится к бесконечности. Такого на практике нет. Указанный недостаток вытекает из того, что в упругом континууме могут распространяться колебания со сколь угодно малой длинной волны. В действительности ситуация выглядит иначе: в дискретной среде минимальная длина волны равна удвоенному межатомному расстоянию, следовательно должна существовать максимальная частота. Известно, что фононный спектр должен удовлетворять условию нормировки: полное число состояний: z=3N
(2.2.21)Подставим (2.2.20) в (2.2.21):
(2.2.22)
(2.2.23)«В» из условия нормировки запишется следующим образом:
(2.2.24)Подставляя (2.2.24) в (2.2.20):
(2.2.25)Для характеристики максимальной частоты Дебай ввел так называемую характеристическую температуру:
. (2.2.26)Физический смысл величины
состоит в том, что она равна температуре, выше которой возбуждены все колебательные моды. Температуру можно оценить из следующей функции: 
. (2.2.27)Таким образом, используя данные о концентрации атомов N/V в реальном кристалле и скоростях звука vL и vт, получим значение дебаевской температуры
[2].
Рисунок 4. Дебаевский фононный спектр.
Газ фононов в гармоническом приближении представляет собой совокупность независимых квазичастиц. Следовательно, статистика фононов в данном случае удовлетворяет следующим условиям:
1. Каждый фонон может, находиться в любом из состояний с уровнями энергий (1.2.3).
2.Нет ограничений на число фононов в отдельном квантовом состоянии
.3.Полное число фононов в системе не сохраняется.
Так как общее число фононов в кристалле не ограничено, то химический потенциал фононного газа равен нулю. А именно, при нагревании кристалла тепловая энергия, а следовательно, и число фононов изменяются таким образом, что система стремится к равновесию. Условие равновесия кристалла определяется в нашем случае минимумом свободной энергии Гельмгольца
, т.е. химический потенциал фононов μ = 0 [2].ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе написания данной курсовой работы было проделано следующее:
1.Изучены основы теории динамики кристаллической решетки. Получено уравнение движения для отдельного атома, а затем и для любого числа атомов. Рассмотрены колебания атомов в случае однородной цепи. Изучена дисперсия частот атомных колебаний, а также соответствующие им дисперсионные кривые (рисунок 3).
3. Изучена статистика, которой подчиняются фононы, в ходе чего было выяснено, что фононы, также как и фотоны, подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. Фонон, так же как и фотон, является бозе-частицей, т. е. отсутствует ограничение на число квазичастиц в заданном состоянии, которое зависит только от температуры. Фононы представляют собой газ невзаимодействующих бозе-частиц.
3.Был рассмотрен фононный спектр и плотность фононных состояний и наряду с этим свойства фононов. В результате чего было выяснено, что фононный спектр графически можно представить в виде параболической зависимости (рисунок 4) . Было выяснено, что химический потенциал фононного газа равен нулю. А именно, при нагревании кристалла тепловая энергия, а, следовательно, и число фононов изменяются таким образом, что система стремится к равновесию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. – М.: Наука, 1978. – 615с.
2. Квантовая теория динамики кристаллической решетки / А.Ф. Ревинский. – Брест: Изд-во БрГУ, 1998. – 215 с.
3. Бетгер Х. Принципы динамической теории решетки. М.: Мир. – 1968. – 362 с.
4. Ашкрофт М, Мермин М. Физика твердого тела. В 2-х томах./ - пер. с анг. А. С.Михайлова, под ред. М.И. Каганова. – М.: Мир, 1997.
5. Рейсленд Дж. Физика фононов / Под ред. С.Жданова.–М. – Мир, 1975. – 365 с.
6. Давыдов, Н.И. – Теория твердого тела. – М.: Наука, 1976 г. – 511 с.