Фононы (стр. 2 из 4)
§ 1.2 .Дисперсия частот атомных колебаний
Для цепочки атомов, в отличии от однородной струны, имеет место дисперсия волн, т. е. частота ω зависит от волнового числа q[1]. На рисунке (3) показаны дисперсионные кривые ω(q) для однородной цепочки атомов.
Из условия
qmax 
, (1.2.16)
имеем, что минимальная длина волны для выбранной цепочки атомов равна λmin= 2a. При такой длине волны соседние атомы имеют равные 1и противоположно направленные амплитуды. В длинноволновом пределе q → 0, когда выполняется условие
, (1.2.17)получим:
. (1.2.18) 
Рисунок 3. Дисперсионные кривые ω(q) для однородной цепочки атомов.
Колебания в данном случае можно рассматривать как колебания упругого континуума. Здесь νзв – скорость звука [2].
Формула (1.2.18) в предположении, что среда является непрерывной (континуум). Для нашей линейной цепочки нельзя считать среду непрерывной. Она является дискретной. Для дискретной среды наблюдается отклонение от линейности (1.2.18). Данное отклонение называется дисперсией, а полученные кривые (рис. 3) называются дисперсионными. Причина дисперсии – дискретность среды. Для дискретной среды существуют максимальные частоты, которые соответствуют минимальным длинам волн:
(1.2.19) 
[3] (1.2.20)Когда имеет место дисперсия ω(q), следует различать фазовую скорость vф, с которой распространяется фаза монохроматической волны и групповую скорость vгр, с которой распространяется волновой пакет, построенный из волн с
, близким некоторому значению. Групповая скорость является скоростью переноса пакетом энергии из мест нарушения равновесия[2].Вычислим значение фазовой и групповой скорости в нашем случае .
1. Vf – скорость распространения фазы (фазовая скорость):
(1.2.21) 
(1.2.22)
, (1.2.23)Назначаем значение данной скорости в длинноволновом пределе:
(1.2.24)2. Vg – скорость передачи энергии; скорость перемещения горба волнового пакета (групповая скорость):
(1.2.25) 
(1.2.26) 
(1.2.27) 
(1.2.28)Сопоставление дает, что и фазовая и групповая скорость в длинноволновой области совпадают и равны скорости звука.
(1.2.29)Вычислим, используя значения Vg на границе зоны Бриллюэна (интервал значений волнового числа
является по существу зоной Бриллюэна): 
(1.2.30)Это означает, что распространение продольной волны с
для цепочки конечных размеров образуется стоячая волна, а в случае стоячих волн передача энергии отсутствует и Vg=0.Отметим, что все физические эффекты, наблюдаемые для простой одномерной цепочки, наблюдаются и для трехмерных кристаллов.
ГЛАВА 2. КВАНТОВАНИЕ ВИБРАЦИЯМИ ЭНЕРГИИ. ФОНОНЫ
§ 2.1 Статистика Бозе—Энштейна
Колебания атомов кристаллической решетки описываются при помощи суперпозиции нормальных колебаний, которые можно представить как монохроматические плоские волны. При этом каждая волна характеризуется волновым вектором q, частотой
и типом поляризации j[2].Воспользовавшись квантовомеханическим принципом соответствия можно перейти от физической картины нормальных колебаний к эквивалентной картине элементарных возбуждений. А именно, каждой монохроматической волне необходимо сопоставить совокупность движущихся фиктивных частиц (квазичастиц). Решение уравнения Шредингера для осциллятора Планка хорошо известно [4]. Энергетический спектр данного осциллятора имеет дискретный характер:
, 
(2.1.1)
При частотах осцилляторов частотам нормальных колебаний, по-аналогии с характеристическим уравнением для частот нормальных колебаний
. (2.1.2)получим, что энергия нормального колебания квантована:
. (2.1.3)Здесь величина
показывает по существу степень возбуждения конкретного нормального колебания. При этом минимальная порция колебательной энергии (квант) равна: 
. (2.1.4)Такое корпускулярное описание дает возможность описывать возбужденное состояние кристалла при помощи элементарных возбуждений с энергией
. Данное элементарное возбуждение получило название фонон. Это энергия нормальной моды колеблющейся системы атомов[2].Заметим, что энергия
локализована в обратном пространстве. Свойства обратного пространства, которое введено для удобства и определяется относительно действительного кристаллического пространства периодичны, причем волновой вектор и импульсы де Бройля принимают различные значения только в ограниченном интервале. Все значения вне этого интервала имеют эквивалентные значения в этом интервале. Эквивалентные узлы соединяются векторами обратной решетки.Вместе с тем энергия распределена по всему кристаллу в реальном пространстве, т.к. в каждом нормальном колебании задействованы все атомы.
Кванты колебаний атомов в кристалле можно рассматривать как фононный газ. Мы видели, что имеется качественная аналогия между газом фононов и идеальным газом, т. е. между фононами и фотонами. Если кристалл поглощает энергию, число фононов изменяется, причем их распределение по разрешенным состояниям удовлетворяет соответствующим законам статистической механики. Очевидно, что макроскопические тепловые свойства и элементарные колебательные состояния кристалла связаны законами статистической механики.
Волновая функция колебательного состояния решетки имеет вид произведения независимых волновых функций отдельных осцилляторов. Если бы частицы были «различимыми», этого было бы достаточно для описания системы. Однако в квантовой статистике мы имеем дело с системами, состоящими из «неразличимых» элементарных объектов. Поэтому при любой перестановке объектов из той же самой системы модуль волновой функции не должен изменяться; сама же волновая функция может изменяться. Все частицы в квантовой статистике делятся на две группы. Частицы, относящиеся к первой группе, называются бозонами (сюда же относятся и фононы), частицы, относящиеся ко второй группе, называются фермионами. Состояние ансамбля одинаковых бозонов, таким образом, правильно описывается нормированной линейной комбинацией всех возможных перестановок их равновесных состояний, соответствующих данным условиям. Такое рассмотрение не создает каких – либо проблем. Оно означает всего лишь, что мы не можем указать точно, какие именно бозоны связаны с данным состоянием; существует только некоторое распределение вероятности, согласно которому, скажем, n любых бозонов могут находиться в указанном частном состоянии. С принципиальной точки зрения это говорит о том, что при проведении расчетов в квантовой статистике необходимо принимать во внимание, можем ли мы или не можем различать объекты системы.
Атомные осцилляторы различимы, так как они локализованы и остаются связанными с фиксированными точками отсчета; кванты энергии неразличимы. Таким образом, имеются две возможности: можно рассматривать твердое тело как ансамбль различимых объектов – колеблющихся атомов и использовать распределение Максвелла – Больцмана или же подойти к нему как к газу неразличимых частиц – фононов и тогда применять статистику Бозе – Эйнштейна.
Заполнение бозонного состояния не ограничено ничем, кроме общего числа имеющихся частиц. В случае ансамбля фононов ограничение связано со стабильностью кристалла. Если тепловая энергия становится слишком большой, кристалл либо изменяет свою структуру, либо разрушается, однако никаких фундаментальных ограничений на статистическое поведение фононов, как для ферми – частиц, нет.