Разработка теории радиогеохимического эффекта (стр. 7 из 9)
 . | (3) |
Здесь
 | (4) |
характеризует изменение энергии при изменении количества данного компонента вещества в системе на один моль.
Понятно, что химический потенциал можно определить, исходя не только из выражения тепловой функции
(2), но и из выражения любой другой термодинамической функции. При этом по определению  . | (5) |
Таким образом, химический потенциал характеризует изменение энергии при изменении количества вещества в системе на один моль.
3. Разработка теории радиогеохимического эффекта
В данной главе сформулированы общие предположения теории радиогеохимического эффекта, приведена его математическая модель. Здесь решается задачи для нахождения результирующей плотности радиоактивных веществ в пористой среде, которые иллюстрируются на графиках. Определяются величина этого эффекта и условие его возникновения.
3.1. Общие предположения теории
В данной работе предпринята попытка исследования особенностей формирования радиогеохимического эффекта на основе концепции, согласно которой диффузия радиоактивных веществ определяется химическим потенциалом и изучения новых возможностей практического использования этого эффекта.
В основу теории положено следующие общенаучные предположения:
– диффузия растворенного вещества пропорциональна градиенту химического потенциала
 | (3.1) |
где
– коэффициент диффузии химического потенциала, 
– вектор плотности потока диффундирующих радиоактивных компонентов,в частности поток радиоактивных примесей между скелетом и насыщающим флюидом определяется ньютоновским законом для химического потенциала
 | (3.2) |
– плотность растворенных изотопов
предполагается малой в сравнении с плотностью несущей фазы, которая не изменяется в процессе фильтрации. Перенос растворенных изотопов определяется скоростью фильтрации несущей фазы. Динамика растворенного вещества определяется уравнением неразрывности, следующим из закона сохранения массы  | (3.3) |
соответственно для плотности радиоактивных веществ в скелете ρs имеет место следующее уравнение
 . | (3.4) |
Диффузией радиоактивных примесей, кроме массообмена жидкости со скелетом, в уравнениях (3) и (4) пренебрегается;
–для несущей жидкости, предполагаемой несжимаемой, соответствующее уравнение неразрывности предполагается квазистационарным
 | (3.5) |
– период полураспада предполагается настолько большим, что за все время процесса вытеснения не происходит заметного изменения плотности радиоактивных примесей за счет радиоактивного распада. Это позволяет пренебречь соответствующими источниками в уравнениях неразрывности и упростить задачу.
Для простоты также предполагается поршневой режим вытеснения водой нефти. Основные закономерности радиогеохимического эффекта без ограничения общности осуществлены на основе плоского одномерного течения, которое хорошо применимо в пластах на больших расстояниях от нагнетательной скважины, т. е. в зоне расположения добывающих скважин, где обычно указанный эффект и регистрируется. Естественным предполагается и пренебрежение диффузионным массообменом пласта с покрывающими и подстилающими породами.
Заметим, что в предполагаемом подходе к скелету отнесена реликтовая вода и другие составляющие, не подвижные в процессе вытеснения, поэтому плотность радиоактивного вещества в скелете включает и содержание радиоактивных веществ в указанных компонентах, что впрочем, улучшает условия применимости разработанной теории.
3.2. Математические модели радиогеохимического эффекта
Математическая постановка задачи в указанных выше предположениях в одномерном случае включает уравнение для радиоактивных примесей в несущей жидкости
 | (3.6) |
и в скелете пористой среды
 | (3.7) |
где
– пористость,  , | (3.8) |
 . | (3.9) |
Складывая (3.6) в (3.7), получим идентичные уравнения для плотности радиоактивного вещества в жидкости
 | (3.10) |
и скелете пористой среды
 , | (3.11) |
где скорость конвективного переноса примесей
определяется выражением  . | (3.12) |
Так как химический потенциал является функцией от концентрации, то разложим его в ряд Тейлора вблизи точки равновесия растворенного вещества
  . | (3.13) |
Предполагается, что в равновесии химические потенциалы радиоактивных веществ равны
. Пренебрегая в (3.13) слагаемыми порядка выше первого, получаем  , | (3.14) |
где
.Для простоты считаем, что процесс фильтрации равновесный, так что концентрации радиоактивных веществ в жидкости и скелете пористой среды определяются из условия равенства химических потенциалов
 . | (3.15) |
Такое же условие и для нефти в скелете
.3.1.1. Постановка задачи
Исследование динамики примесей при поршневом вытеснении нефти водой из пористой среды приводит к краевым задачам математической физики. В общем случае разработка данной теории требует совместного рассмотрения уравнений (3.10) и (3.11) с краевыми условиями. Однако плотности в скелете
и насыщающей жидкости связаны равенством 
. Это соотношение позволяет отыскивать решение только одного из уравнений, поскольку второе решение находится умножением или делением на 
. Можно показать, что найденное таким образом второе решение будет удовлетворять соответствующему дифференциальному уравнению в частных производных.Краевые условия задачи определяются из очевидных соображений.
Требуется найти решение уравнения для жидкости
 , | (3.16) |
в виде функции
, удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти 
. Предполагается, что на левом конце стержня поддерживается постоянная концентрация радиоактивного вещества 
, поэтому для подобласти граничное условие имеет вид