Разработка теории радиогеохимического эффекта (стр. 4 из 9)

Из (4) получаем

(6)

Равенство (6) – решение уравнений характеристик.

Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости

, т.е. графики движения частиц при заданной скорости

, называются характеристиками уравнения (1).

Пусть при

, т.е.

;
.	(7)

Подставляя (7) в (2), получим

(8)

Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:

,	(9)
.	(10)

Подставим уравнение (10) в (9), получим

(11)

Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).

Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью

Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)

, , ,	(1)
.	(2)
.	(3)

Рис.4.

На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при

начальное условие, а при

граничное условие,

граничная характеристика.

Для задачи Коши решенной ранее,

а)

б)

Рис. 5

(или

) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное условие

. Если

(

), то будет влиять только граничное условие

Получим решение для граничного решения.

(5)

Запишем уравнения (1) в виде

(6)(7)

Из (6) следует, что

, где

Учитывая (3) получим

Интегрируя (7) получаем

(8)

Пусть при

тогда

(9)

Разделим обе части (9) на

получим

(10)

При

(11)

Подставляя (11) в (3) получаем

Тогда решая систему

получаем решение граничной задачи в виде

(12)

В (12)

Решение начально-краевой задачи будет иметь вид

где

, единичная функция Хевисайда.

Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения

Построим формулу Даламбера для уравнения

(1)

Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.

(2)

Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:

(3)(4)

Интегрируя (4), получим

(5)

Пусть при

, тогда

Подставим (5) в (3), получим

.
,	(6)
,	(7)
.	(8)

Исключим в (6)

для этого учтем начальное условие (7).

,
.	(9)

Подставим (9) в (6), получим