Электромагнитные волны между параллельными идеально проводящими плоскостями (стр. 1 из 5)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ:
«Электромагнитные волны между параллельными идеально проводящими плоскостями»
Введение
На больших расстояниях от антенны электромагнитное поле имеет характер сферической волны. При движении такой волны в точку, где находится потребитель энергии (приемное устройство), естественно, попадает лишь незначительная часть общей энергии, излучаемой антенной. Иными словами, коэффициент полезного действия передачи электромагнитной энергии, т.е. отношение мощности, извлекаемой из пространства приемным устройством, к мощности, излученной передающей антенной, получается очень низким.
Устройства, в которых распространяются направляемые волны, получили название направляющих устройств или направляющих систем. В большинстве случаев они образованы поверхностями проводников; однако при некоторых условиях направляющими свойствами обладают также поверхности Диэлектриков. Следовательно, электромагнитные волны в направляющих системах движутся вдоль граничных поверхностей, выполняющих функции своеобразных «электромагнитных рельсов».
Направляющие устройства имеют самые разнообразные применения в современной радиотехнике. Наиболее широко они используются в качестве линий передачи или фидеров, предназначенных для передачи электромагнитной энергии из одной точки пространства в другую (например, от передатчика к антенне или от антенны к приемнику и т.п.) с высоким к. п.д.
1. Электромагнитные волны между параллельными идеально проводящими плоскостями
Для того чтобы найти поля, которые могут существовать в пространстве между проводящими плоскостями, необходимо решить уравнения Максвелла в заданной области при соответствующих граничных условиях.
Руководствуясь приведенными выше соображениями, мы будем полагать, что направляющие плоскости обладают бесконечно большой проводимостью. Тогда касательная составляющая вектора
на этих плоскостях должна обращаться в нуль 
(1.1)Для решения уравнений Максвелла введем прямоугольную систему координат (рис. 1). В этой системе уравнения направляющих поверхностей запишутся самым простым образом: х = 0 и х = а.
Рис. 1 - Направляющая система, образованная двумя параллельными проводящими плоскостями
Предположим, что источники поля находятся вне пределов интересующей нас области и что волны распространяются по оси z. Будем также считать, что векторы
и 
искомого поля не зависят от координаты 
(двумерная задача).Рассмотрим уравнения Максвелла:
где:
, 
, 
. 
В рассматриваемой задаче волны распространяются вдоль оси OZ поэтому
, отсюда:
(1.2) 
(1.3)Здесь
и 
- параметры среды в пространстве между плоскостями (проводимость среды g равна нулю).Полученные уравнения распадаются на две системы абсолютно независимые друг от друга, ибо в уравнения (1.2) входят неизвестные
, 
, 
, а в уравнения (1.3) - неизвестные 
, 
, 
. Так как по условию задачи электромагнитные волны распространяются вдоль оси z, то система (1.2) определяет поля поперечно-электрические (H-волны), а система (1.3) - поля поперечно-магнитные (E-волны). Действительно, в поле (1.2) проекция вектора на направление распространения не равна нулю (проекция 
), а вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси z. Аналогично в поле (1.3) проекция вектора на направление распространения не равна нулю, а в плоскости, перпендикулярной оси z, лежит вектор .Рассмотрим эти типы полей по отдельности.
2. Поперечно-магнитные поля
Выразим величины
и из первого и второго уравнения системы (1.3) через : 
(1.4)Подставив их значения в последнее уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для составляющей
: 
(1.5)Где
.Следовательно, расчет поперечно-магнитного поля в направляющей системе сводится к решению уравнения (1.5) при граничных условиях (1.1). Последние в рассматриваемом случае принимают вид
(1.6)или просто
при 
.Решение уравнения (1.5) будем искать методом разделения переменных, полагая, что
(1.7)Тогда уравнение (1.5) нетрудно привести к виду
(1.8)Последнее уравнение эквивалентно двум уравнениям:
(1.9)где
- неизвестная постоянная разделения, а 
(1.10)Решение первого уравнения (1.9) целесообразно записать таким образом:
.Для второго уравнения (1.9) решение удобно представить в виде линейной комбинации показательных функций:
.Следовательно,
( 
( 
. (1.11)Чтобы найти входящие в (1.11) неизвестные коэффициенты и постоянную разделения
, используем граничные условия (1.6) . Поставив туда значение будем иметь 
(1.12)при
Условия (1.12), очевидно, могут быть удовлетворены, если положить
= 0. В этом случае проекция , как видно из (1.4), обращается в нуль не только на проводящих плоскостях, но и во всех точках пространства между ними. Тогда из (1.10) следует, что 
(величина 
, как известно, носит название постоянной распространения).Подставляя найденные значения
и в выражения (1.11) и (1.4), получим: 
(1.13)