Электромагнитные волны между параллельными идеально проводящими плоскостями (стр. 2 из 5)

Здесь мы положили, что

.

Таким образом, решение системы уравнений (1.3) при

определяет электромагнитное поле в виде суммы двух бегущих волн, распространяющихся по оси z в противоположных направлениях.

Если полагать, что источник электромагнитной энергии находится где-то в точках

, то в линии, естественно, будет существовать только одна волна, распространяющаяся в направлении от к . В этом случае выражения для компонент электромагнитного поля принимают вид:

(1.14)

Из равенств (1.14) вытекает, что векторы электромагнитного поля полученной волны не имеют составляющих на направление распространения. Следовательно, электромагнитное поле, определяемое уравнениями (1.4), (1.5), при

вырождается в волну поперечно-электромагнитного типа.

Фазовая скорость волны (1.14) совпадает со скоростью распространения плоской волны в свободном пространстве с параметрами среды

:

Для характеристики направляющей системы целесообразно ввести величину, называемую характеристическим сопротивлением. Последнее определяется как отношение поперечной проекции вектора

к перпендикулярной ей поперечной проекции вектора .

В нашем случае характеристическое сопротивление

будет равно

т.е. оно совпадает с волновым сопротивлением среды для плоской волны. Такое совпадение нельзя считать случайным, ибо волна ТЕМ в рассматриваемой системе аналогична по своей структуре плоской волне в неограниченном пространстве. Действительно, если в поле плоской волны, распространяющейся в неограниченном пространстве, внести две бесконечно-тонкие проводящие плоскости, перпендикулярные вектору

, то граничные условия (1.1) автоматически оказываются выполненными.

Электромагнитное поле (1.14) в пространстве между проводящими плоскостями имеет волновой характер при любом значении частоты колебаний. Иными словами, поперечная волна в направляющей системе может существовать при любой частоте колебаний поля, причем распространение этой волны происходит со скоростью, зависящей лишь от параметров среды.

Полученное выше решение уравнений (1.3) оказывается не единственно возможным. В самом деле, условиям (1.6), (1.12) можно также удовлетворить если

, но

при

Легко убедиться, что левая часть последнего равенства будет обращаться в нуль при

, если

откуда вытекает, что

Постоянная распространения

, которую в дальнейшем целесообразно обозначить , согласно (1.10) будет равна

(1.15)

Подставив найденное значение

в выражение (1.12) и учитывая, что , получим

Аналогично ранее исследованному случаю поперечной волны мы можем положить

. Тогда, в соответствии с (1.5), выражения для проекций векторов поля будут иметь вид:

(1.16)

Здесь коэффициент

мы заменили на .

Так как

по определению - любое целое число, то в пространстве между параллельными проводящими плоскостями, помимо ранее найденной волны ТЕМ, может существовать бесчисленное множество полей поперечно-магнитного типа, характеризуемых различными значениями (поля ).

Рис. 2 - Зависимость составляющей

от координаты x в пространстве между проводящими плоскостями при различных значениях

Из выражений (1.16) следует, что распределение поля вдоль оси х имеет форму стоячей волны. Характер изменения поля на интервале

определяется числом (индексом) . Согласно (1.16) при различных на промежутке между плоскостями будет укладываться различное число «полуволн» поля, причем это число как раз и равно . На рис. 1.2 изображены кривые изменения вдоль оси х, соответствующие разным . (Максимальные значения для различных «гармоник» здесь выбраны произвольно. Начальные фазы взяты или одинаковыми или отличающимися одна от другой на )

Нетрудно убедиться, что компоненты электромагнитного поля (1.16) при

совпадают с компонентами поля (1.14), ибо соответствует . Следовательно, поперечно-электромагнитную волну в пространстве между параллельными проводящими плоскостями можно рассматривать как вырожденный случай поля поперечно-магнитного типа.

Рассмотрим теперь формулу (1.15), определяющую постоянную распространения

.

Легко заметить, что при

, , постоянная распространения становится чисто мнимой величиной:

,

где

В этом случае поперечно-магнитное поле (1.16) будет иметь волновой характер, ибо выражения (1.16) при

, представляют волны, распространяющиеся с определенной скоростью вдоль оси z.

Предположим, что при данных значениях частоты f, расстояния

и заданном типе поля, характеризуемом величиной , выполняется соотношение

В этом случае электромагнитное поле (1.16) уже не будет иметь волнового характера, так как теперь

является величиной вещественной, и множитель определяет лишь экспоненциальный характер убывания амплитуды колебаний поля в различных точках оси z. Электромагнитные поля такого типа обычно называют затухающими полями (не смешивать с бегущими волнами, амплитуды которых экспоненциально затухают вдоль направления распространения).

Для любого значения

и можно, очевидно, найти такую частоту колебаний, при которой постоянная распространения обращается в нуль. Из выражения (1.15) следует, что , если