Изучение колебаний цилиндрических конструкций систем управления летательных аппаратов (стр. 2 из 3)

Таким образом, при определенных условиях мы наблюдаем постоянные периодические колебания в такой системе, которая называется автоколебательной, а сам процесс - автоколебаниями.

Любая автоколебательная система состоит из следующих четырех частей:

а) колебательная система;

б) источник энергии, за счет которого компенсируются потери;

в) клапан (триггер) – некоторый орган, регулирующий поступление энергии в колебательную систему определенными порциями в нужный момент.

г) обратная связь – чрезвычайно характерное для всех автоколебательных систем обратное воздействие колебательной системы на клапан, иными словами – управление работой клапана за счет процессов в самой колебательной системе.

Амплитуда резонансных колебаний будет возрастать до тех пор пока энергия, рассеиваемая в результате демпфирования не будет равна энергии поставляемой потоком воздуха. Таким образом, конструкции, обладающие слабым демпфированием в большей степени подвержены данному эффекту.

Процесс образования вихрей на боковых по ветру поверхностях цилиндрических конструкций зависит от чисел Рейнольдса Re. При очень малых числах Рейнольдса течение в непосредственной близости к поверхности цилиндра будет мало отличаться от идеального течения и образования вихрей не будет. При несколько больших значениях (до Re = 40) течение отрывается от поверхности и образует два симметричных вихря. Выше Re = 40 симметрия вихрей разрушается и происходит зарождение асимметрического схода вихрей с противоположных сторон. Диапазон от Re = 150 до 300 является переходным, в нем течение меняется от ламинарного к турбулентному в области свободных вихрей сорвавшихся с поверхности цилиндрической конструкции. В этом диапазоне вихревой след периодичен, но скорость вблизи поверхности меняется не периодично из-за турбулентности течения.

Апериодичность изменения скорости аргументируется турбулентностью природного ветра.

Результатом таких флуктуаций является то, что амплитуды подъемной или боковой силы являются в некоторой степени случайными, эта случайность становится более выраженной с увеличением числа Рейнольдса.

Периодичность вихревого следа характерна для диапазона от Re = 40 до 3*10⁵. При больших числах Рейнольдса течение в пограничном слое на передней к ветру поверхности изменяется от ламинарного к турбулентному и точка отрыва вихрей смещается назад по потоку. В результате резко падает коэффициент лобового сопротивления, и след становится более узким и, вероятно, апериодичным. Следовательно, частота схода вихрей и амплитуда подъемной силы становятся случайными.

1.2 Исследование поперечных колебаний струны

Для определения поперечных колебаний смоделируем тягу струной.

Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде или в вакууме и несущие с собой энергию. При этом перенос энергии происходит без переноса вещества, т.е. частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются в поступательное движение, а совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны. В поперечной волне частицы совершают колебания в направлениях, перпендикулярных направлению распространения колебаний, а в продольных волнах – вдоль направления распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. К ним, в частности, относятся поперечные колебания струны.

Составим уравнение колебаний струны, натянутой между двумя точками её закрепления, при условии, что амплитуда отклонений струны от положения равновесия настолько мала, что длину струны(

) можно считать постоянной, а натяжение струны – неизменным по всей длине струны и не зависящим от времени.

Рассмотрим отрезок

(рис. 2) колеблющейся однородной струны, точки закрепления которой находятся на оси . Пусть в некоторый момент времени на струну было оказано воздействие, приведшее к смещению отрезка из положения равновесия (вдоль оси ) в направлении оси .

Смещения струны вдоль оси

Так как в исходном положении струна была натянута, то к концам отрезка будут приложены равные силы натяжения

, образующие с направлением углы . В интересах наглядности изображения на (рис. 2) использован укрупненный масштаб при изображении смещения струны вдоль оси .Поэтому при дальнейших расчетах следует иметь ввиду, во-первых, что на (рис. 2) изображен только некоторый произвольно выбранный отрезок струны и,

во-вторых, что смещение вдоль оси

существенно меньше длины струны, а углы настолько малы, что с большой точностью соблюдаются приближенные соотношения:

, . (3)

Проекции сил

на ось , с учетом соотношений (3), соответственно равны:

(4)

Алгебраическая сумма проекций сил, описываемых соотношениями (4), является силой, возвращающей отрезок

в положение равновесия. При этом рассматриваемая часть струны (рис. 2) будет последовательно принимать положения 1,2,3 и т.д., пока колебания не прекратятся и струна не займет устойчивое положение вдоль оси

.

На основании второго закона Ньютона результирующая сила, действующая на отрезок

, равна произведению его массы на ускорение , сообщаемое отрезку возвращающей силой:

. (5)

Разделив правую и левую части соотношения (5) на

, при значениях получим:

, или

, (6)

где

; – линейная плотность струны

Соотношения типа (6) называются волновыми уравнениями, решение которых можно искать в следующем виде:

. (7)

Подставляя соотношение (7) в формулу (6), получим:

. (8)

Уравнение (8) записано в обыкновенных производных, т.к.

и зависят только от и соответственно. Так как и – независимые переменные, то равенство (8) может соблюдаться во всем диапазоне их измерений, если обе части соотношения (8) являются некоторой постоянной величиной, которую обозначим . После проведения очевидных преобразований соотношение (8) может быть записано в следующей форме:

. (9)

Соотношение (7) позволяет составить следующие уравнения:

,