Изучение материала по теме Гидростатика (стр. 6 из 7)

Решение. При одинаковой глубине погружения (когда конус погружен еще не полностью). больший объем воды вытесняет конус, расположенной вершиной вверх. Следовательно, в этом случае на конус будет действовать большая сила Архимеда, и поэтому в процессе погружения придется прилагать большую силу. Когда конус погружен полностью, объем вытесненной им воды в любом случае равен объему конуса независимо от его расположения.

Задача №5. Льдинка плавает на границе между водой и керосином. Какая часть ее объема находится ниже границы раздела жидкостей, если керосин покрывает льдинку полностью?

Решение. Условие плавания имеет вид

F_A = mg,

где m = ρ_ЛV– масса льдинки, V – ее объем.

Архимедова сила

F_A = ρ_ВgV + ρ_Kg(V- V_B),

где V_B – объем вытесненной воды. Отсюда находим

V_B/V = (ρ_Л - ρ_K)/(ρ_{В -} ρ_K) = 0,5.

Задача №6. На дне аквариума стоит склеенная из 4 одинаковых кубиков деталь (рис.5). Длина ребра каждого кубика 10 см. В аквариум медленно наливают воду. Когда высота уровня воды достигает 10 см, деталь отрывается от дна. Опыт повторяют, натерев нижнюю грань детали парафином(теперь вода не подтекает под эту грань). До какой высоты h нужно теперь налить в аквариум воды, чтобы деталь оторвалась от дна?

Решение. В первом случае деталь оторвалась от дна, когда масса вытесненной воды достигла 1 кг. Следовательно, масса детали 1 кг. Во втором случае вода не затекает под основание нижнего кубика и не давит на него снизу. Поэтому архимедова сила действует только на нижние грани двух боковых кубиков. Деталь оторвется от дна, когда каждый из этих кубиков вытеснит 0,5 кг воды. Отсюда находим h = 15 см.

2.13 ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ»

Описать движение жидкости и газа гораздо труднее, чем решить задачи гидростатики. Хотя гидроаэродинамика основана на трех хорошо знакомых в механике законах сохранения массы, импульса и энергии, их формулировка здесь выглядит немного сложнее. Например, определение закона сохранения массы обычно выглядит так: масса системы тел остается неизменной. Для жидкости, текущей в трубе, этот закон используется в форме (называемой уравнением неразрывности):

υS=const

Здесь – υ скорость жидкости, S – площадь сечения трубы, по которой течет жидкость. Сформулировать этот закон можно так: сколько вливается жидкости в трубу, столько должно и выливаться, если условия течения не изменяются. Согласно уравнению неразрывности скорость жидкости в узких местах трубки больше, чем в широких.

Познакомимся с распределением давления в движущейся жидкости. Обратимся к опытным фактам. Возьмем трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены стеклянные открытые сверху измерительные трубки (рис.1). При стационарном течении (движение жидкости называется стационарным, если во всех точках пространства скорости элементов жидкости не меняются со временем) жидкость в каждой измерительной трубке поднимется до определенной высоты. По высоте столба жидкости в измерительных трубках можно судить о её давлении на стенки горизонтальной трубки. Опыт показывает, что в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Но чем больше сечение трубки, тем меньше скорость течения жидкости. Следовательно, можно сделать вывод:

При стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и, наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше.

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения и перепада высоты была установлена в математической форме Даниилом Бернулли в 1783 году. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии и условие неразрывности течения идеальной жидкости.

Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Выделим некоторый объем жидкости между сечением АВ в широкой части трубы и сечением CDв узкой части (рис. 2).

Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в широкой части равны S₁, p₁, υ₁, а в узкой части – S₂, p₂, υ₂.

Если жидкость течет слева направо, под действием сил давления F₁ и F₂ и силы тяжести выделенный объем жидкости за малое время Dt сместится вправо и займет часть трубы, ограниченную сечениями А₁В₁ и C₁D₁. Силы давления F₁ и F₂ совершат работу

A = A₁ + A₂ = F₁l₁ – F₂l₂ = p₁S₁υ₁Dt – p₂S₂υ₂Dt.

Существенно, что при стационарном течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями А₁В₁ и CD остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем АВВ₁А₁, переместилась бы и заняла объем CDD₁C₁. Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии элемента жидкости, переходящей из области АВВ₁А₁ в область CDD₁C₁. Работа внешних сил давления согласно закону сохранения энергии равна изменению энергии этого элемента. Его объем DV не изменяется вследствие несжимаемости жидкости.

Изменение энергии этого элемента жидкости равно:

DE =DE_k + DEp = ½*ρDV(υ₂² – υ₁²) + ρg(S₂l₂h₂ – S₁l₁h₁).

Учитывая, что DE = А, получим:

½*ρDV(υ₂² – υ₁²) + ρg(DVh₂ - DVh₁) = p₁S₁υ₁Dt – p₂S₂υ₂Dt.

Так как S₁υ₁Dt = S₂υ₂Dt = DV, то после сокращения на DVнаходим:

½*ρυ₂² – ½*ρυ₁² + ρgh₂ -ρgh₁ = p₁ – p₂.

Откуда

p₁ + ρgh₁ +ρυ₁²/2= p₂ + ρgh₂ + ρυ₂²/2

или

p₁ + ρgh₁ +ρυ₁²/2=const

Это и есть уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости.

В этом уравнении все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: p- статическое давление, ρυ²/2 - динамическое давление (или плотность кинетической энергии), pgh- весовое давление (плотность потенциальной энергии). Согласно уравнению Бернулли сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной для любого сечения потока.

При отсутствии скорости уравнение Бернулли превращается в гидростатическую формулу. Если труба устроена так, что давление в ней остается постоянным, уравнение Бернулли для жидкости просто совпадает с законом сохранения энергии для материальной точки. Если же труба устроена так, что можно не учитывать изменение высоты h (в силу малой плотности вещества или малого изменения этой высоты), то результат получится неожиданным: скорость в узких участках трубы растет, - значит там должно падать давление. Максимальное давление в трубах устанавливается именно там, где труба имеет наибольшее сечение; здесь ее материал может не выдержать и разорваться. Узкие части трубы в этом отношении безопасны, но в них давление может упасть настолько, что жидкость закипит, - это тоже приведет к разрушению материала трубы.

Уравнение Бернулли справедливо и для газов, если скорость течения достаточно мала, так как в этом случае можно пренебречь их сжимаемостью.

Уравнение Бернулли просто объясняет множество явлений, происходящих в жидкости и газе.

1) Например, крыло самолета, которое обтекает равномерный поток воздуха. Даже при отсутствии у крыла угла атаки, т. е. наклона по направлению к набегающему потоку, существует подъемная сила, направленная вверх. Именно из-за такой формы крыла, в соответствии с уравнением неразрывности получается, что скорость воздуха под крылом меньше, чем над ним. Это означает, что давление снизу крыла больше, чем давление сверху. Разность давлений и создает подъемную силу.

2) Капитаны морских и речных судов прекрасно знакомы с коварным проявлением уравнения Бернулли. Если два корабля идут параллельным курсом слишком близко один к другому, возникает гидродинамическая сила, толкающая их друг к другу, в результате чего может произойти кораблекрушение. Формула Бернулли позволяет понять, почему возникает эта сила: относительная скорость воды между судами будет больше, чем снаружи, давление воды на корабли в пространстве между ними окажется ниже, чем извне. Перепад давлений по разные стороны кораблей создает силу, толкающую их друг к другу.

3)Закон Бернулли позволяет измерять скорость движения жидкости или газа с помощью манометра – прибора для измерения давления.

С помощью уравнения Бернулли можно найти скорость истечения идеальной жидкости из отверстия, расположенного в сосуде на глубине h относительно поверхности жидкости. Если сосуд широкий, а отверстие мало, то скорости жидкости в сосуде малы. Ко всему потоку жидкости в целом можно применить уравнение Бернулли. В верхнем сечении (рис.3) у поверхности жидкости давление p₀ равно атмосферному, а скорость υ₀»0. В нижнем сечении «трубки» - в отверстии давление также равно атмосферному. Если скорость в отверстии обозначить через υ, то для этих двух сечений уравнение Бернулли можно записать так: