Изучение материала по теме Гидростатика (стр. 3 из 7)
р1=р2.
Выразим каждое из давлений с помощью формулы гидростатического давления:
р1=ρ1gh1, р2=ρ2gh2.
Получим
ρ1gh1= ρ2gh2,
откуда
h1/h2= ρ2/ρ1.
Из этого равенства следует, что в сообщающихся сосудах высоты столбов жидкости над уровнем раздела жидкостей обратно пропорциональны плотности этих жидкостей. При этом высоты столбов жидкости отсчитываются от поверхности соприкосновения жидкостей друг с другом.
2.6 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТЕМУ «СООБЩАЮЩИЕСЯ СОСУДЫ»
Задача №1. В сообщающихся сосудах находится ртуть. В один из сосудов доливают воду, а в другой – керосин. Высота столба воды hв = 20 см. Какова должна быть высота hк столба керосина, чтобы уровни ртути в обоих сосудах совпадали?
Решение. Уровни ртути будут совпадать, если давление столба воды и столба керосина одинаково: ρвghв= ρкghк. Отсюда находим hк =ρвhв/ρк = 25 см.
Задача №2. В сообщающихся сосудах (рис. 4) находится холодная вода. В каком направлении потечет вода по трубке, соединяющей сосуды, если их поместить в теплое помещение?Решение. Выделив в соединительной трубке некоторый участок. Вначале давление воды на этот участок с обеих сторон было одинаковым, и вода не перемещалась. При одинаковом уменьшении плотности воды в сосудах увеличение высоты столбов воды в них будет разным. В левом сосуде высота столба воды будет увеличиваться быстрее, чем в правом. Так как давление воды пропорционально высоте столба, то слева на выделенную площадку давление будет больше и вода в соединительной трубке начнет перемещаться вправо.
Задача №3. При равновесии поршень в первом из сообщающихся сосудов (рис. 5) устанавливается на h1 = 20 см выше, чем во втором. Массы поршней m1 = 2 кг и m2 = 4 кг. Если на первый поршень поставить гирю массой m3 = 3 кг, то поршни установятся на одинаковой высоте. Как расположатся поршни, если гирю переставить на второй поршень?
Решение. В этой задаче нельзя считать, что силы давления жидкости на поршни относятся как площади этих поршней: когда поршни устанавливаются на разных уровнях, следует учитывать и давление столба жидкости. Если переставить гирю на второй поршень, он окажется ниже первого. Обозначив разность высот поршней в этом случае h, плотность жидкости ρ, а площади поршней S1 иS2 и учитывая, что сила давления жидкости на поршень при равновесии равна по модулю весу этого поршня с грузом, получим систему уравнений:
Вычитая из первого уравнения второе, а из третьего – первое, приходим к следующим уравнениям: m3 = ρh1S1 иm3 = ρS2(h– h1), откуда h = h1(1 + S1/S2). Поскольку из второго уравнения системы следует, что S1/S2 = (m1 – m3)m2, находим: первый поршень будет расположен выше второго на h = h1(m1 + m2 + m3)/m2.
Задача №4. Трубки ртутного U-образного манометра имеют разные диаметры. К какому из колен манометра следует подсоединить сосуд, в котором необходимо измерить давление, чтобы точность измерения была выше? (Шкала прикреплена к узкому колену манометра).
Решение. Так как жидкость несжимаема, то объем ртути в одном колене увеличится на столько, на сколько уменьшится объем в другом колене, поэтому p+Dp = p+ρgh, гдеh – разность уровней жидкости в коленах (рис.6).Задача №5. Пять одинаковых сообщающихся сосудов (рис. 7) частично заполнены водой. В один из сосудов доливают слой керосина высотой h = 25 см. На сколько поднимется уровень воды в остальных сосудах?
Решение. Слой керосина высотой hвызывает такое же увеличение давления в жидкости, как слой воды высотой hв =ρкh/ρв = 20 см. Если долить в сосуды воду, то она распределится между всеми сосудами поровну. Следовательно, уровень воды в сосудах поднимется на hв/5 = 4 см.Задача №6. В U-образной трубке находятся ртуть, вода и керосин (рис. 8). Найдите высоту столбов воды и керосина, если в правом колене трубки уровень ртути на h = 1 см выше, чем в левом.
Решение. Пусть высота столба керосина (рис.9) hк, тогда высота столба воды hв = hк + h. Давление в точках А и В должно быть одинаковым: hк = h(ρрт-ρв)/(ρв-ρк) = 63 см. Отсюда h = 64 см.
2.7 ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЕСС»
Закон Паскаля позволяет объяснить действие гидравлической машины. Это машины, действие которых основано на законах движения и равновесия жидкостей.
Основной частью гидравлической машины служат два цилиндра, снабженные поршнями и соединенные трубкой (рис.1).Пространство под поршнями и трубку заполняют жидкостью (обычно минеральным маслом). Высоты столбов жидкости в обоих цилиндрах одинаковы, пока на поршни не действуют силы.
Допустим теперь, что F1 и F2 – силы, действующие на поршни, S1 и S2 – площади поршней. Давление под малым поршнем равно p1 = F1/S1, а под большим поршнем p2 =F2/S2. По закону Паскаля давление во всех точках покоящейся жидкости одинаково и p1 = p2, т.е.
F1/S1 = F2/S2,
откуда:
F2/F1 = S2/S1.
Поскольку для площадей поршней выполняется соотношение S1<S2, то сила F1, действующая на меньший поршень, меньше силы F2, действующей на больший поршень. Причем во сколько раз площадь меньшего поршня меньше площади большего, во столько же раз сила F1 меньше силы F2.
Таким образом, гидравлическая машина дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз площадь большего поршня больше площади малого.
Это означает, что с помощью небольшой силы, приложенной к малому поршню гидравлической машины, можно уравновесить существенно бóльшую силу, приложенную к большему поршню.
Гидравлическую машину, служащую для прессования (сдавливания), называют гидравлическим прессом. Гидравлические прессы используются для обработки материалов, для прессования сена, соломы, для выжимания масла из семян. Принцип гидравлического пресса используется в гидравлических домкратах для подъема тяжелых грузов.
Рассмотрим, как работает гидравлический пресс (рис.2). Прессуемое тело А кладут на платформу, соединенную с большим поршнем В. При помощи малого поршня D создается большое давление на жидкость. Это давление без изменения передается в каждую точку жидкости, заполняющей цилиндры (закон Паскаля). Поэтому такое же давление действует и на поршень В. Но так как площадь поршня В больше площади поршня D, то и сила, действующая на него, будет больше силы, действующей на поршень D. Под действием этой силы поршень В будет подниматься. При подъеме поршня В тело упирается в неподвижную верхнюю платформу и сжимается. М — манометр, при помощи которого измеряют давление жидкости, Р — предохранительный клапан, автоматически открывающийся, когда давление превышает допустимое значение.Из малого цилиндра в большой жидкость перекачивается повторными движениями малого поршня D. Это осуществляется так. При подъеме малого поршня клапан К открывается и в пространство, находящееся под поршнем, засасывается жидкость. При опускании малого поршня под действием давления жидкости клапан К закрывается, а клапан К' открывается и жидкость переходит в большой сосуд.
Гидравлическая машина, так же как и любой простой механизм, дает выигрыш в силе, но не дает выигрыша в работе.
Пусть на малый поршень гидравлической машины площадьюS1 действует сила F1, под действием которой он перемещается вниз на расстояние h1 (рис.3). При этом на больший поршень площадью S2 действует сила F2, и он перемещается вверх на расстояние h2.При действии силы F1 масло из малого цилиндра перетекло в большой. Очевидно, что объем масла (V1), ушедшего из меньшего цилиндра, равен объему масла (V2), пришедшего в большой цилиндр:
V1 = V2.
Объем масла равен произведению площади поперечного сечения цилиндра и расстояния, на которое переместился поршень, т.е.
V1 = S1h1; V2 = S2h2.