Изучение материала по теме Гидростатика (стр. 2 из 7)

Выделим мысленно вертикальный столб жидкости высотой h, основанием которого служит площадью S (рис.1).

Объём выделенного столба жидкости равен Sh. Сила, с которой столб жидкости действует на площадку (основание столба), представляет собой вес столба жидкости: F=P. Так как жидкость неподвижна, то вес столба жидкости равен действующей на него силе тяжести, следовательно:

,

где ρ – плотность жидкости.

Давление, производимое столбом жидкости на его основание, равно:

.

Итак,

Из полученной формулы видно, что гидростатическое давление на любой глубине жидкости не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость, а зависит лишь от высоты столба жидкости, её плотности и площади дна.

Давление внутри жидкости на любой глубине hслагается из атмосферного давления p₀ (или внешнего давления) на жидкость и гидростатического давления

:

Зависимость силы давления от высоты столба жидкости и её плотности, легко продемонстрировать с помощью следующей экспериментальной установки (рис.2).

На столик динамометра поставим прозрачный сосуд кубической формы с сантиметровыми делениями на передней стенке. Будем дискретно наливать в сосуд воду до 1-го, 2-го, и т.д. делений и фиксировать показания динамометра: сила давления возрастает пропорционально высоте столба жидкости. Поскольку площадь остается неизменной, то можно сказать, что давление столба зависит от его высоты линейно. Повторим опыт с концентрированным раствором поваренной соли и установим, что давление столба жидкости зависит от её плотности.

Проведем опыт, показывающий, что сила, с которой жидкость давит на дно сосудов различной формы, но с одинаковой площадью дна и одинаковой высотой столба жидкости в них одна и та же. Поставим сосуды различной формы на специальные весы, позволяющие измерить силу давления на дно каждого сосуда (рис.3). Дно сосуда, стоящее на весах, не будем жестко связывать с сосудом, а сам сосуд закрепим неподвижно на подставке. Показания весов подтвердили, что сила давления на дно сосуда не зависит от формы сосуда.

Этот опыт приводит к мысли, что при надлежащей форме сосуда можно при помощи небольшого количества жидкости создать очень большие силы давления на дно.

2.4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТЕМУ «ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ»

Задача №1. Вы опускаете палец в стакан с водой, не касаясь дна стакана. Изменяется ли при этом сила давления воды на дно? Если изменяется, то как?

Решение: Сила давления жидкости на дно зависит от уровня жидкости в сосуде. Если первоначально стакан был заполнен не доверху, то после опускания пальца уровень воды поднимется, вследствие чего сила давления на дно увеличится. Если же стакан был заполнен доверху, то сила давления на дно не изменится (часть воды просто выльется из стакана).

Задача №2. Изменится ли давление воды на дно ведра, если в воду опустить мяч? Камень?

Указание: Давление увеличится, если ведро было неполным, и останется неизменным, если ведро было заполнено водой доверху.

Задача №3. Каково давление воды на дно в точках А, В, С (рис.4)? Атмосферное давление не учитывайте.

Решение. Когда жидкость покоится, давление во всех точках, лежащих на одном уровне, одинаково: разность давлений вызвала бы перетекание жидкости. Следовательно, p_A=p_B=p_C. В точке же С p_C=ρgh, где ρ – плотность воды. При вычислении давления жидкости глубину следует отсчитывать от свободной поверхности этой жидкости. Иначе аквалангист, заплывший на стометровой глубине в низкую подводную пещеру, мог бы «спрятаться» от давления воды.

Задача №4. В сосуд, имеющий форму куба с ребром а, налита доверху жидкость плотностью ρ (рис.5). Определить силы давления жидкости на дно и на стенки сосудов. Атмосферное давление не учитывайте.

Решение:

Давление жидкости на дно сосуда будет равно весу столба жидкости высотой а с площадью основания равной единице:

p₁=ρgа.

Сила давления на дно сосуда:

F₁=p₁S=ρga³.

Давление на боковую грань куба будет зависеть от расстояния до поверхности жидкости. На глубине hдавление

p=ρgh.

Так как давление изменяется с глубиной по линейному закону, то для определения силы давления мы должны среднее давление

p_ср= ρgh+0/2= ρgh/2.

умножить на площадь боковой грань:

F₂= ρga³/2.

Задача №5. На горизонтальном листе резины лежит перевернутая кастрюля радиусом R=10 см и высотой H=15 см. В дне кастрюли просверлено круглое отверстие радиуса r=1 см, в которое плотно вставлена легкая вертикальная трубка (рис. 6). В кастрюлю через трубку наливают воду. Когда вода заполняет всю кастрюлю и поднимается по трубке на h=4 см, она начинает вытекать из-под краев кастрюли. Какова масса mкастрюли?

Решение: Вода начинает вытекать, когда кастрюля чуть приподнимается. Приподнимает кастрюлю направленная вверх сила давления воды на дно. Эта сила

F=pS

должна уравновесить действующую на кастрюлю силу тяжести mg. Здесь p=ρgh– давление воды на дно,

S = pR²-r²

– площадь дна кастрюли (с учетом отверстия).

Из условия равновесия F = mgнаходим

m =pρh(R²-r²).

Заметим, что ответ не зависит от высоты кастрюли H.

Задача №6. Оцените массу атмосферы Земли (радиус Земли R = 6400 км).

Решение. Вес атмосферы равен силе давления воздуха на всю поверхность Земли, площадь которой

S = 4pR².

Следовательно, mg =p_а× 4pR², где p_а = 50 Па – атмосферное давление. Отсюда

m =p_а× 4pR²/g»5×10¹⁸ кг.

Эта величина составляет менее одной миллионной части полной массы нашей планеты. Такая простая оценка массы атмосферы возможна потому, что основная часть атмосферы сосредоточена на высотах, малых по сравнению с радиусом Земли. Поэтому можно считать, что вес атмосферы равен mg, где g – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли.

2.5 ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «СООБЩАЮЩИЕСЯ СОСУДЫ»

Свойство жидкости передавать давление по всем направлениям без изменения позволяет объяснить устройство сообщающихся сосудов.

Сосуды, имеющие общую (соединяющую их) часть, заполненную покоящейся жидкостью, называются сообщающимися.

Простейшими примерами сообщающихся сосудов могут служить лейка, чайник, кофейник. Из опыта мы знаем, что вода, налитая, например, в чайник, стоит всегда на одном уровне (рис.1).

Проделаем опыт. Соединим два стеклянных сосуда резиновой трубкой и, зажав трубку в середине, нальем в один из сосудов воду (рис.2, а). Теперь откроем зажим и проследим за перетеканием воды из одного сосуда в другой, сообщающийся с первым. Мы видим, что вода будет перетекать до тех пор, пока поверхности воды в обоих сосудах не установится на одном уровне (рис.2, б). Оставим один из сосудов закрепленным в штативе, а другой будем поднимать, опускать или наклонять в сторону. Видим, что все равно, как только движение воды прекратится, её уровни в обоих сосудах окажутся одинаковыми (рис.2,в).

Закон сообщающихся сосудов:в сообщающихся сосудах поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне.

Для доказательства этого закона рассмотрим частицы жидкости, находящиеся в том месте, где соединяются сосуды (внизу на рисунке 1, а). Так как эти частицы (вместе со всей остальной жидкостью) покоятся, то силы давления, действующие на них слева и справа, должны уравновешивать друг друга. Но эти силы пропорциональны давлениям, а давления – высотам столбов жидкости, со стороны которых действуют эти силы. Поэтому из равенства рассматриваемых сил следует и равенство высот столбов жидкости в сообщающихся сосудах.

Изменим условия опыта: в правый сосуд нальем воду, а в левый керосин, плотность которого меньше плотности воды. Видим, что уровень воды в правом сосуде ниже, чем уровень керосина в левом сосуде (рис. 3).

Это объясняется тем, что давление жидкости на дно сосуда зависит не только от высоты столба, но и от плотности жидкости. Поскольку жидкости и в данном случае будут покоиться, то по-прежнему можно утверждать, что давления, создаваемые и правым и левым столбами жидкостей (например, на уровне АВ на рисунке 3), равны: