Явление синхронизации может также наблюдаться в больших ансамблях взаимно связанных хаотических систем и в сформированных имипространственных структурах [1].

8. Цепочки осцилляторов

8. 1. Синхронизация N связанных осцилляторов

Рассмотрим синхронизацию N связанных осцилляторов на примере электронных генераторов, связанных через емкость, индуктивность и сопротивление. Уравнения колебаний в такой системе имеют вид:

(i=1,2,...,N). (5)

Здесь x_i – напряжения на входах усилителей, ω_i – собственные частоты колебательных контуров, μ_i – превышения над порогом генерации, β_ij⁽¹⁾ – коэффициенты индуктивной связи, β_i_j⁽²⁾ – коэффициенты емкостной связи, β_ij⁽³⁾ – коэффициенты связи через сопротивление, (1 – γ_ix_i²) – функции, характеризующие нелинейные свойства усилителей.

Будем считать, что частоты автономных генераторов близки друг к другу, тогда решение уравнения (5) можно искать в виде:

x_i=А_icos(ωt+φ_i),

= – А_iωsin(ωt+φ_i), (6)

где ω=(1/N)

Для амплитуд и фаз получаем следующие уравнения:

(7)

(8)

где A_i₀ – амплитуда колебаний i-го генератора в отсутствии связи, Φ_ij=φ_i – φ_j, (9)

Δ_i=ω_i – ω, (10)

m_ij=

[(β_ij⁽¹⁾ω² – β_ij⁽³⁾)²+ β_ij⁽²⁾²]^1/2, (11)

(12)

Рассмотрим случай слабой связи между генераторами, когда в уравнениях для фаз (8) можно положить A_i=A_i₀. В синхронном режиме, когда

, получим следующую систему уравнений для определения стационарных разностей фаз:

(13)

где i=1,2,...,N – 1, Δ_i,i+1=ω_i – ω_i+1=Δ_i – Δ_i+1.

Система уравнений (13) аналитически может быть решена лишь для частного случая полностью идентичных генераторов, когда A_i₀=A₀, m_ij=m, χ_ij=χ, ω_i=ω для всех i и j. В этом случае уравнения (13) примут вид:

(i=1,...,N – 1).(15)

Уравнение (15) имеет два частных решения:

Φ_ij= 0, (16)

Φ_i_j= ± (j – i)

(17)

Частота синхронных колебаний в случае синфазного режима работы генераторов равна ω_с= ω + (N – 1)mcosχ, а во втором случае ω_с= ω – mcosχ [3].

8. 2. Пример: цепочка лазеров

Синхронизация в цепочке лазеров часто используется для получения излучения большой интенсивности. Этого можно достигнуть, расположив лазеры в линию, так, что каждый взаимодействует с ближайшими соседями или со всеми другими лазерами. Добиться взаимодействия каждого лазера с остальными можно с помощью специального пространственного фильтра. При такой конфигурации каждый лазер взаимодействует с остальными, но сила связи зависит от расстояния между лазерами. Результаты, представленные на рисунке 4, четко указывают на синхронизацию. Действительно, если бы лазеры были не синхронизованы, то излучение в дальней зоне представляло бы собой сумму некогерентных колебаний, и потому было бы пространственно однородным. Неоднородность распределения на рисунке 4 появляется из-за захвата фаз, это типичная интерференционная картина.

Рис. 4. Интенсивность излучения в дальней зоне при слабой связи лазеров.

9. Образование кластеров

9. 1. Кластеры в дискретной цепочке осцилляторов

Если в дискретной цепочке осцилляторы взаимодействуют очень слабо, то синхронизации не будет, и каждая система будет колебаться со своей частотой. При достаточно сильной связи будет наблюдаться синхронизация всей цепочки. В промежуточном случае можно ожидать появление частично синхронизированных режимов, с несколькими различными частотами. Поскольку связь стремится синхронизировать ближайших соседей, образуются кластеры синхронизированных осцилляторов [1].

Рис. 5. Зависимость наблюдаемых частот Ω_kот параметра связи ε в цепочке из пяти осцилляторов. Собственные частоты равны -1.8, -1.1, 0.1, 0.9, 1.9, функция связи выбрана в виде q(x)=sinx. С увеличением связи сначала осцилляторы 1 и 2 образуют кластер при ε≈0.4. Затем при ε≈0.6 появляется кластер из осцилляторов 4 и 5. При ε≈1.4 к нему присоединяется осциллятор 3. Наконец, при ε≈3 все осцилляторы синхронизируются.

9. 1. Кластеры в непрерывной колебательной среде

Образование кластеров в непрерывной колебательной среде является результатом двух противоположных факторов: неоднородности распределения собственных частот и связи, которая старается уравнять состояния систем. Такая связь часто возникает вследствие диффузии, и поэтому называется диффузионной. Рассмотрим, что происходит на границе двух кластеров, имеющих разные частоты. Здесь важно различать случал дискретной цепочки и непрерывной среды.

В дискретной цепочке граница между двумя кластерами есть граница между двумя осцилляторами, имеющими разные частоты. Это просто означает, что они не захвачены: каждый колеблется со своей частотой. В отличие от этого, если в сплошной среде два осциллятора в двух пространственных точках имеют разные частоты, то между ними должен быть непрерывный переход. На первый взгляд, можно просто провести непрерывный профиль частот, соединяющий эти точки. Более детальное рассмотрение показывает, что это невозможно. Действительно, разные частоты отвечают разным скоростям вращения фазы. Поэтому разность фаз между точками, принадлежащими к двум кластерам, растет во времени со скоростью, пропорциональной разности частот. Следовательно, профиль фазы становится все более наклонным. С другой стороны, непрерывный крутой профиль фазы означает, что в среде образуются волновые структуры с все меньшей и меньшей длиной волны. Рост разности фаз между кластерами приводит к укорочению длины волны со временем. Ясно, что этот процесс долго продолжаться не может — и действительно, среда находит выход из этой ситуации. Увеличивающийся градиент фазы уменьшается за счет пространственно-временного дефекта. Дефект образуется, когда амплитуда колебаний обращается в ноль, он позволяет сохранить градиент фазы конечным.

Чтобы продемонстрировать, как возникает пространственно-временной дефект, предположим, что разность фаз между точками 1 и 2, принадлежащими разным кластерам, достигла значения ≈2π. Если бы между 1 и 2 не было среды, то мы бы просто считали состояния в этих точках почти идентичными. В среде, однако, существует непрерывный профиль фазы между этими точками. Представляя как амплитуду, так и фазу в полярных координатах, мы можем изобразить поле окружностью. (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация пространственно-временного дефекта. Начальный профиль фазы и амплитуды между точками 1 и 2 показан жирной сплошной линией. С течением времени амплитуда уменьшается и профиль меняется, как показано стрелками. В конечном состоянии (пунктирная линия) разность фаз между точками 1 и 2 близка к нулю.

Рассмотрим теперь влияние связи в среде на профиль амплитуды и фазы. Типичная связь — диффузионная, или, по крайней мере, имеет диффузионную компоненту; она стремится уменьшить разность между состояниями ближайших соседей, т.е. уменьшить разность между состояниями в точках 1 и 2. Единственная возможность добиться этого — это уменьшить амплитуду колебаний. Из рисунка 6 видно, что такое уменьшение амплитуды действительно превращает профиль фазы между 1 и 2 из окружности в почти точку. В конечном состоянии фазы в точках 1 и 2 почти равны, хотя изначально они различались на 2π [1]. После амплитуда снова нарастает, и процесс повторяется, т. е. наблюдаются биения.

10. Заключение

Анализ научной литературы показал, что явление синхронизации широко распространено в обществе, природе и технике. Мы понимаем синхронизацию как подстройку ритмов осциллирующих объектов за счет слабого взаимодействия между ними. Синхронизация зависит от двух факторов: сила связи и расстройка по частоте. Существует два режима взаимной синхронизации двух автоколебательных систем: синфазная синхронизация и в противофазе. В обоих случаях разность фаз не в точности ноль (не в точности 2π), так что говорят о фазовом сдвиге между двумя колебаниями. Взаимная синхронизация может возникнуть как в системе нескольких взаимодействующих автоколебательных систем, так и в ансамбле глобально связанных осцилляторов, дискретных цепочках или решетках, а также в непрерывных колебательных средах. При определенной силе связи возможно образование кластеров синхронизированных осцилляторов. Достаточно распространены автоколебательные системы, генерирующие хаотические сигналы, где также возможна синхронизация.

Литература

1. Пиковский А. А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.:2003, 496 с.

2. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора: Учеб. пособие. М.:2002, 144с.

3. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.:1980, 356 с.

4. Романовский Ю. М. Процессы самоорганизации в физике, химии и биологии. М.:1981, 48с.

5. Данилов Ю. А. Роль и место синергетики в современной науке. www.synergetic.ru/science/index.php?article=dan2#up

6. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. www.ipme.ru/ipme/labs/ccs/alf/f03.pdf

7. Львова Л. В. Ритмы жизни. www.provisor.com.ua/archive/2003/N1/art_34.htm

Синхронизация как механизм самоорганизации системы связанных осцил (стр. 3 из 3)