Операторные передаточные функции и их свойства (стр. 1 из 2)
Академия России
Кафедра Физики
Лекция
Операторные передаточные функции и их свойства
Орел 2009
Учебные и воспитательные цели:
Разъяснить слушателям сущность операторных передаточных функций, устойчивых и неустойчивых электрических цепей, критерий устойчивости Гурвица, а также связь ОПФ с комплексной передаточной функцией.
Распределение времени лекции
Вступление………………………………………………………….5 мин.
Учебные вопросы:
1. Определение операторных реакций в сложных цепях………..15 мин.
2. Операторная передаточная функция……………………………20 мин.
3. Устойчивые и неустойчивые электрические цепи.
Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица………….35 мин.
4. Связь между ОПФ и КПФ……………………………………….10 мин.
Заключение…………………………………………………………5 мин.
1. Определение операторных реакций в сложных цепях
В общем случае
-изображение искомого колебания находится путем составления и решения системы уравнений в операторной форме в 3 этапа. Они могут быть составлены непосредственно по схеме цепи с использованием ранее изученных методов расчета, среди которых наибольшее распространение получили МУН и МКТ. В случае ненулевых начальных условий реактивные элементы должны быть отображены схемами замещения.1 этап: система уравнений составленная по МУН для цепи имеющей N потенциальных узлов будет иметь вид:
.Здесь
– сть сумма операторных проводимостей, подключенных к данному узлу, а 
– проводимость, связывающая этот узел с соседним "i"-м узлом.В правые части входят
-изображения задающих токов, подключенных к "k"-му узлу.Решая задачу по МКТ, следует, прежде всего, выбрать совокупность независимых контуров и, руководствуясь ранее полученным правилом, составить систему контурных уравнений.
В этой системе
будет представлять собой сумму сопротивлений входящих в "k"-й контур, а 
есть сумма сопротивлений, которые одновременно входят в "k"-й и "i"-й контуры.Знаки слагаемых этой суммы определяются установленными ранее правилами. В правые части уравнений входят операторные источники ЭДС.
Второй этап: нахождение
‑изображения реакции (операторного напряжения или операторного тока).Если цепь содержит только один воздействующий источник (обозначим его
), то искомую реакцию 
можно найти по формуле: 
,где
– минор определителя 
, относительно i‑й строки и k‑го столбца.Важно отметить, что определитель
и любые его миноры представляют собой рациональные функции (иначе, алгебраические дроби) оператора 
, все коэффициенты которых являются вещественными числами.Третий этап: применение обратного преобразования Лапласа, в результате чего находится
. Такие действия производятся на основе формулы обращения Римана-Меллина и являются достаточно сложными. Однако в частных случаях, имеющих большое прикладное значение, те же результаты могут быть получены более элементарным путем, а именно:– использование таблиц соответствия;
– разложение
на простые дроби или в ряд с последующим использованием таблиц соответствия. 2. Операторная передаточная функция
Отношение 
-изображения реакции к 
-изображению воздействия при нулевых начальных условиях называется операторной передаточной функцией (ОПФ). Обозначается 
.
В общем случае
может быть безразмерной величиной или иметь размерность сопротивления или проводимости. Число ОПФ для конкретной цепи равно числу реакций.Пусть в цепи действует один источник
, а реакцией 
является одно из узловых напряжений или один из контурных токов.Тогда:
.Можно показать, что после раскрытия определителя
и его минора 
, ОПФ будет иметь вид: 
где
и 
– вещественные числа, т. е. ОПФ электрической цепи представляет собой рациональную функцию с вещественными коэффициентами, причем степень числителя не может превышать степень знаменателя.ОПФ не зависит от воздействия, а определяется только элементами схемы и порядком их соединения. Если известна ОПФ, то реакция находится как:
.Пример: определить одну из ОПФ для последовательного контура, показанного на рис. 1.
Рис. 1
В данной схеме будет четыре ОПФ.
Найдем
. 
; 
; 
.Аналогичным образом находятся
, 
, 
.3. Устойчивые и неустойчивые электрические цепи. Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица
Линейную электрическую цепь принято определять как устойчивую, если в ней не возникают неограниченно возрастающие свободные колебания. В противном случае ее определяют как неустойчивую. Такая трактовка следует из классических работ по теории устойчивости, выполненных русским математиком А. М. Ляпуновым (1857— 1918 гг.).
Большинство современных ЛРТУ являются активными, т. е. в схемах замещения содержат зависимые источники. Любая пассивная электрическая цепь является устойчивой. Если же она активна, то вопрос об ее устойчивости остается открытым: активная цепь может быть как устойчивой, так и неустойчивой.
При рассмотрении предыдущего вопроса было показано, что реакция находится из соотношения:
.Пусть
представляет собой 
-функцию, 
-изображение которой равно единице.Тогда:
,где
и 
рациональные функции с вещественными коэффициентами.Для нахождения оригинала такая функция может быть единственным образом разложена на сумму простых дробей вида:
.Здесь
являются корнями полинома .