Полиномы Лагерра в квантовой механике (стр. 1 из 2)

Министерство образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Физико-технический институт

Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема:

Полиномы.

Полиномы Лагерра в квантовой механике

Выполнил (а) студент (ка)

2 курса, группы НТ-08,

.

Научный руководитель

.,ДФМН, профессор кафедры квантовой физики

Иркутск

2010

Содержание

Введение 3

Глава I . Ортогональные полиномы. 4

1.1. Понятие ортогональных полиномов 4

1.2. Классические ортогональные полиномы 5

1.3. Общие свойства ортогональных полиномов 7

Глава II. Полиномы Лагерра 8

Глава III. Применение полиномов Лагерра в квантовой механике 10

3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. 10

3.2. Переход в осцилляторе 12

Заключение 13

Используемая литература 14

Приложение 15

Введение

В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора.

По своей сути полином - это алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Ax^ky^l...w^m где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а₀х_n + а₁х_n-1 + ... + а_n-1х + а_n.

К классическим ортогональным полиномам относятся полиномы Якоби

, Эрмита , Лагерра

Они часто встречаются в теоретической и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют уравнениям вида

где -

полином степени не выше 2, - полином степени не выше 1, - постоянная.

В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики.

Глава I. Ортогональные полиномы

1.1.Понятие ортогональных полиномов

Ортогональные полиномы - системы полиномов

, n = 0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале (а, b)

где -

квадрат нормы. Подобные системы возникают в различных задачах математики, физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.

Задание веса

и интервала (а,b) определяет полином р_n(х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов р_n(х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:

где А_n - нормировочная постоянная

, - момент весовой функции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить свойства Ортогональных полиномов.

1.2.Классические ортогональные полиномы.

Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита – полиномы типа y_n(z) являются решениями уравнения

. Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига , где B_n – нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Решая эти уравнения, получим в зависимости от степени полинома следующие возможные виды функции p(z):

где –

некоторые постоянные.

В зависимости от вида функции получаются следующие системы полиномов:

1.Пусть

Тогда

Соответствующие полиномы y_n(z) при

называются полиномами Якоби и обозначаются

2.Пусть

Тогда

Полиномы y_n(z) при

называются полиномами

Эрмита и обозначаются

3.Пусть

Тогда

Полиномы y_n(z) при называются полиномами Лагерра и обозначаются :

1.3.Общие свойства ортогональных полиномов

Классические ортогональные* полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0.

1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени q_n(x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов p_n(x))

2.Единственность системы полиномов при заданном весе.

3.Рекуррентные соотношения (для произвольных ортогональных полиномов имеет место рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома

где

- некоторые постоянные

Глава II. Полиномы Лагерра

В математике, многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лагерра:

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как

, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

предопределив первые два полинома как:

Обобщенные полиномы Лагерра.

где:

·

**— главное (радиальное) квантовое число;

·

^***— орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Обобщённые полиномы Лагерра

являются решениями уравнения:

так что

.