Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела (стр. 2 из 4)
т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.
Уравнение движения тела переменной массы
Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, а скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt
где u — скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда
(учли, что dmdv — малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому
или
(10.1)Второе слагаемое в правой части (10.1) называют реактивной силой Fp.
Уравнение движения тела переменной массы которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859—1935).
(10.2)Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим
откуда
Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m0, то С = u ln(m0). Следовательно,
v = u ln (m0/m). (10.3)
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m0; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).
Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.
(11.1)Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина
где a — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; Fs — проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).
(11.2). Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и a=const, то получим
 |  |
где s — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).
Из формулы (11.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая Fs совпадает по направлению с вектором скорости движения v (см. рис. 13). Если a > p/2, то работа силы отрицательна. При a = p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.
Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н × м).
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:
(11.3)За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени
т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.
Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).
Кинетическая и потенциальная энергии
Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.
Работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.
Используя второй закон Ньютона
и умножая на перемещение dr получаем
рис 14
Так как
то dA = mv dv=mvdv=dT, откуда 
(12.1)Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипатнвной; ее примером является сила трения.
(12.2) 
(12.3)Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как
где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам
или в векторном виде
(12.4)где
(12.5)(i, j, k — единичные векторы координатных осей). Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона* или набла-оператором:
(12.6)Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна
(12.7)где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П0=0.
Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!).
Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:
где Fx упp — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус указывает, что Fx упp направлена в сторону, противоположную деформации x.
По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.
Элементарная работа dA, совершаемая силой Fx при бесконечно малой деформации dx, равна
а полная работа
