Устойчивость упругих систем (стр. 1 из 4)

В работе представлен небольшой обзор некоторых аспектов теории динамической устойчивости упругих систем.

Some aspects of the theory of dynamical instability are briefly reviewed.

Статика

Задача устойчивости упругих систем впервые была сформулирована Л. Эйлером совместно с Д. Бернулли, в результате дискуссий о вариационном подходе к решению задач упругих эластик [1]. К тому времени уже была известна формула Я. Бернулли для выражения кривизны упругой линии [2]. Интересно, что различные аспекты этой задачи были притягательны для Эйлера в течение долгого времени, начиная с 1744 года, когда ученому было 37 лет, и до 1778 года. В трактате [2] Эйлер исследовал малые изгибные деформации упругого стержня длины

, обладающего изгибной жесткостью , сжатого постоянной силой , описываемые уравнением: . Краевые условия на изгибные смещения имеют вид . Нетривиальное решение уравнения, , появляется при критических значениях сжимающей силы , где . Если , то форма стержня устойчива, иначе, , стержень уже не может упруго сопротивляться появлению изгибных перемещений. В самом деле, рассматриваются две альтернативные физические конфигурации "критически" сжатого стержня - тривиальная и нетривиальная, характеризуемые потенциальной энергией , где - продольные смещения. Тривиальная конфигурация обладает энергией , поскольку , в то время как энергия изогнутого состояния , так что их разница равна , где - произвольная константа. В случае , тривиальная конфигурация должна быть устойчивой, поскольку деформированное изогнутое состояние характеризуется "дефицитом" энергии, при . Напортив, при деформированное изогнутое состояние появляется спонтанно, поскольку .

На первый взгляд может показаться, что достаточно некоторого тривиального обобщения статической теории Эйлера, например на системы с начальными геометрическими несовершенствами, чтобы ответить на вопрос какие именно изгибные формы должны появиться при заданном произвольном нагружении. Однако, изучение задачи в динамической постановке сразу же приводит к появлению некоторых неожиданных результатов.

Динамика

Оказалось, что изгибная форма, возникающая в стержне при приложении к его торцу внезапной нагрузки, становится "высокочастотной" по отношению к той, которая предсказывается статической теорией Эйлера. Математическая модель, описывающая подобный эффект была впервые предложена в работе [3] в виде следующих уравнений:

с граничными условиями и . Здесь - площадь поперечного сечения стержня; - массовая плотность; функция обозначает начальные геометрические несовершенства стержня. Преобразование Фурье ( и ) этих уравнений позволяет получить эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений: , обладающими неустойчивыми решениями , где - произвольные константы интеграции; - инкременты неустойчивости. Отсюда следует вывод, что изгибные формы с инкрементом должны преобладать в процессе динамической неустойчивости, вызванной ударным нагружением. Это означает, что .

Физическая интерпретация этого результата может быть такова. Первоначально только небольшой участок стержня,

, примыкающий непосредственно к нагружаемому торцу, подвергается критическому обжатию , т.е. . Формируется волна сжатия. При прохождении этой волны, идет быстрый переходный процесс трансформации продольной волны сжатия в неустойчивые квазигармонические изгибные формы содержащие до полуволн. И наконец, номер доминирующей изгибной формы становится равным . Такого рода сценарий развития динамической неустойчивости, во многом основанный на интуитивных соображениях, подтверждается численным интегрированием модельных уравнений, вытекающих из уточненной теории тонких стержней Бресса-Тимошенко [4], в которых учитываются эффекты инерции поперечных сечений [1]:

(1)

,

где

и обозначают типичные скорости распространения продольных и сдвиговых волн, соответственно (заметим, что значение сдвигового модуля не может превышать значение модуля Юнга ), а продольные смещения подчинены волновому уравнению[2]

(2)

.

Решение этой пары уравнений должно удовлетворять начальным и граничным условиям:

Здесь

обозначает функцию дельта типа ( , в противном случае ); - масса и - абсолютная скорость предмета, ударяющего в торец стержня, . Начальные несовершенства стержня моделировались введением малой аддитивной добавки в уравнение (1). Решение этих уравнений описывает переходный процесс, приводящий к формированию стоячей изгибной волны с критической длиной полуволны , где - радиус инерции поперечного сечения; - некоторый подстроечный коэффициент. При , наблюдается хорошее согласование результата с выводами работы [3], поскольку в данном случае.

Результат установленный в работах [3] и [4], будучи в свое время весьма прогрессивными, тем не менее, не лишен некоторых рудиментарных черт, свойственных статической теории Эйлера. Очевидна попытка обобщения статической теории на динамическую, однако всякая статическая задача должна быть предельным случаем задачи динамики. В связи с этими замечанием, рассматривается задача о стационарных волнах на основе решения нелинейных уравнений (1) и (2) без граничных условий в сопровождающей системе отсчета (

), где - некоторая скорость, подлежащая последующему определению: