Устойчивость упругих систем (стр. 3 из 4)

В нерезонансном случае можно продолжить асимптотическую процедуру нахождения решения, т.е.

, для определения высших приближений к истинному решению[5]. Другими словами, мера динамического возмущения системы оказывается того же порядка, что и мера параметрического возбуждения. Напротив, в резонансном случае решение уравнений (7), вообще говоря, нельзя представить сходящимся рядом по . Следовательно, возможен эффективный отклик системы даже на очень небольшое параметрическое возбуждение. В частном случае внешнего воздействия , уравнения (7) можно весьма упростить:

(9)

при условии, что пара изгибных волн с волновыми числами

и , создает малую волновую расстройку , т.е. , и малую частотную расстройку , т.е. . Значения величин и можно также без всякого принципиального ущерба считать малыми. Выражения и можно интерпретировать как условия фазового синхронизма, необходимые для формирования резонансной тройки волн, состоящей из первичной высокочастотной продольной волны, возбуждаемой при помощи внешней гармонической силы , и вторичных низкочастотных изгибных волн, параметрически возбуждаемых за счет резонанса со стоячей продольной волной.

Заметим, что в случае упрощенной модели (6), соответствующая система амплитудных уравнений сводится к единственному уравнению типа уравнения Матье, широко применяемому во многих прикладных задачах:

Известно, что это уравнение обладает неустойчивыми решениями при малых расстойках

и . Решение уравнений (7) можно найти методом Ван-дер-Поля:

(10)

; ,

где

и - новые неизвестные координаты.

Подставляя это выражение в (9), получаем уравнения первого приближения:

(11)

; ,

где

- коэффициент параметрического возбуждения; обобщенная фаза, удовлетворяющая следующему уравнению: . Уравнения (10) и (11), обладая гамильтоновой структурой, очевидно, обладают первыми интегралами и , позволяющими проинтегрировать систему аналитически. При существуют квазигармонические решения (10) и (11), когда , что ассоциируется с границами областей устойчивости в пространстве параметров системы.

С физической точки зрения можно утверждать, что параметрическое возбуждение изгибных волн проявляется как вырожденный случай нелинейных многоволновых взаимодействий. Это означает, что изучение резонансных свойств нелинейных свободно осциллирующих упругих систем весьма принципиально для понимания природы динамической неустойчивости.

Трехволновые резонансные взаимодействия

Свободные многочастотные нелинейные колебания бесконечно длинного тонкого прямолинейного стержня впервые изучались в работе [13], на основе уравнений модели Бернулли-Эйлера. В отличие от стандартного подхода к подобным задачам, авторы при формулировке проблемы первично выдвинули предположение о существовании фазового синхронизма между волнами:

(12)

; ,

где

и - частоты и соответствующие волновые векторы резонансно взаимодействующих волн. Возникал вопрос о том, волны какого типа могут могут вовлекаться в резонансное взаимодействие. Было обнаружено существование двух типов резонансных триад в стержне. Триада одного типа состояла из высокочастотной продольной волны, , и пары низкочастотных изгибных волн, и , в то время как триада другого типа состояла из высокочастотной изгибной волны, , и пары низкочастотных волн, и , одна из которых была продольной, а вторая изгибной. Эволюционные уравнения волновых триплетов описываются уравнениями

(13)

,

где

- комплексные амплитуды волн; - кубический потенциал трехволнового взаимодействия. Эти уравнения обладают первыми интегралами в форме соотношений Менли-Роу

(14)

с помощью которых ограниченные решения эволюционных уравнений (13) всегда выражается через эллиптические функции Якоби. Из соотношений Менли-Роу (14) следует, что полная энергия волн триплета сохраняется. Кроме того, высокочастотная волна

всегда неустойчива по отношению к малым возмущениям со стороны ее низкочастотных волн и . Это явление называется распадной неустойчивостью высокочастотной волны.

Этот существенный результат можно просто проиллюстрировать, рассматривая условия фазового синхронизма (12) как законы сохранения в терминах квазичастиц, поскольку всякая пара

может ассоциироваться, соответственно, с энергией и импульсом кванта, в то время как соответствующие величины в выражении (14) можно трактовать как число квантов -го типа. Весьма вероятно, что с точки зрения задач динамической неустойчивости механических систем, трехволновые взаимодействия наряду с и другими резонансными взаимодействиями играют ключевую принципиальную роль. Исследование нелинейных колебаний типичных элементов конструкций, таких как стержни, балки, кольца, тонкие пластинки и оболочки, доказывают свойственность таких резонансных взаимодействий для большинства механических систем. В контексте задач динамической неустойчивости заметим, что трехволновые резонансные взаимодействия могут также ассоциироваться с так называемым сценарием взрывной неустойчивости в упругих системах [14]. Математически, взрывная неустойчивость может описываться уравнениями того же типа, что и уравнения (13). Но потенциал взаимодействия должен быть другого вида, например . Это означает, что амплитуды волн могут возрасти до бесконечности за конечный промежуток времени, т.е. . Физически это означает, что упругая система необходимо должна быть подвержена действию хотя бы малых нагрузок, зависящих специальным образом от амплитуд волн.