Устойчивость упругих систем (стр. 2 из 4)

(3)

.

Здесь

и . При , уравнение (3) обладает периодическими решениями с жесткой амплитудно-частотной характеристикой, выражаемыми через эллиптические функции Якоби [5], в то время как локализованные решения, при , следует считать физически нереализуемыми. Таким образом, нетривиальное локализованное стационарное решение уравнений (1) и (2), в виде комбинации продольной и изгибной волн, отсутствует. Поэтому задача динамической неустойчивости никак не сводится в данной постановке к задаче квазистатической.

На самом деле, по-видимому, существуют два основных класса задач по проблеме динамической неустойчивости, когда [4]

продольное нагружение медленно меняется во времени и некоторыми или всеми типами волнового движения можно пренебречь;

продольная нагрузка ударная и динамика волн играет принципиальную роль в процессе потери устойчивости упругой системой.

При изучении этих задач неизбежно возникают следующие общие вопросы.

Какие динамические эффекты должны адекватно описываться модельными уравнениями? Известно, что уравнения, вытекающие из теории тонких оболочек применимы в основном лишь в так называемом длинноволновом приближении. Это означает, что характерная длина волны должна быть снизу ограничена, скажем, по меньшей мере, десятью толщинами тонкостенной конструкции. Однако, при ударном нагружении динамический процесс является существенно коротковолновым. В последнем случае, для адекватного описания динамики системы, требуется привлечение основных уравнений теории упругости, которые весьма сложны по своей математической структуре и трудны для аналитических исследований. Поэтому необходим некий разумный компромисс в выборе модельных уравнений и обоснование их применения [6].

Каковы механизмы динамической неустойчивости, и какие формы колебаний должны преобладать на ее начальной стадии развития? Можно предположить, что динамическая неустойчивость появляется в результате нелинейных многоволновых взаимодействий. Очевидно, что на начальной стадии динамика системы может быть адекватно описана в так называемом параметрическом приближении. Это означает, что сначала можно ограничиться моделью, представленной линеаризованными уравнениями движения с переменными в пространстве и времени коэффициентами.

Существует ли динамический процесс, по своим свойствам противоположный динамической неустойчивости, т.е. можно ли стабилизировать форму конструкции с помощью некого управляемого колебательного процесса? Известно, что вынужденные высокочастотные колебания линейных механических системы могут обратить ее неустойчивое/устойчивое состояние равновесия в устойчивое/неустойчивое [7 - 10]. Тем не менее, прогноз динамической устойчивости на больших временных интервалах требует изучения существенно нелинейных динамических моделей.

Параметрическое приближение

Следуя постановке задач, представленных в работах [3] и [4], рассматривается так называемая модель Бернулли-Эйлера, описывающая нелинейные колебания тонкого стержня с помощью следующих уравнений [11]

(4)

с краевыми условиями

Заметим, что область применимости модели уверенно можно ограничить условием, что характерная скорость волнового процесса не должна превышать скорости распространения продольных волн

.

В случае исчезающе малых колебаний эта система уравнений представляет собой два линейных уравнения, которые могут быть разрешены независимо.

Пусть

, тогда линеаризованное уравнение для продольных смещений представляет собой простое волновое уравнение, имеющее вынужденное решение

,

где частоты

связаны с волновыми числами дисперсионным соотношением .

Заметим[3], что

, при любом значении .

В свою очередь, линеаризованное уравнение для изгибных волн принимает вид

(5)

.

Очевидно, что в правой части уравнения (5) содержится пространственно-временной параметр в форме суперпозиции стоячих волн.

Учет "волны параметра" становится принципиальным, если типичная скорость продольных волн оказывается сравнимой с групповыми скоростями изгибных волн.

В противном случае можно, формально полагая, что

или , ограничиться изучением следующей простейшей модели:

(6)

,

которая описывает лишь только параметрическое возбуждение системы во времени. Решение уравнения (5) можно построить с помощью метода Бубнова-Галеркина:

, где - волновые числа изгибных волн; - амплитуды, определяемые из решения системы обыкновенных уравнений

(7)

.

Здесь

коэффициент, содержащий параметры расстройки по волновым числам,

, которые, в свою очередь, не могут быть равными нулю в отсутствие резонанса; - частоты изгибных волн при , и как и прежде - критические значения силы Эйлера.

Уравнения (7) описывают раннюю стадию эволюции волн за счет многомодовых параметрических взаимодействий. Возникает ключевой вопрос о сопоставимости возмущенных орбит системы (7) и траекторий соответствующей невозмущенной подсистемы

(8)

,

которая получается из уравнений (7) при

. Другими словами, - насколько эффективен динамический отклик системы (7) на малое параметрическое возбуждение? Сначала перепишем систему (7) в эквивалентной матричной форме: , где - вектор решения; - матрица собственных чисел; - квазипериодическая матрица с компонентами на основных частотах . Следуя стандартной методике теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнений (7) ищется в той же форме, что и для уравнений (8), где константы интеграции рассматриваются как новые искомые переменные, например , где - вектор нетривиального колебательного решения линейного однородного уравнения (8), характеризуемого набором собственных чисел . После подстановки в (7) получаются уравнения первого приближения в представлении решения рядом по малому параметру : . Правые части этих уравнений очевидно представляются суперпозицией периодических функций на комбинационных частотах . Таким образом, в первом приближении решение уравнения (7) оказывается ограниченными квазипериодическими функциями[4], когда комбинации частот ; в противном случае в системе возникают резонансы.