Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла (стр. 2 из 4)
из рисунка видно , что
, а 
подставим значения 
, 
и 
( из 2) , сократив сразу на 
, и учитывая (4) : 
(выражая 
через второе уравнение системы (5) ) 
Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
и 
Случай ТЕ -волны ( s - волны)
рис.3
Из рисунка видно , что
Условия (3) для
и 
: 
подставляя значения
и 
из (2) получим : 
как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на 
и с учетом (4) получим систему : 
(8)умножим первое уравнение на
а второе на 
и вычтем из первого второе : 
поскольку мы полагаем
(см. выше) то 
(9)из второго уравнения системы (8) получаем:
(10)проверим теперь неучтенные условия на границе раздела :
и 
.Второе условие выполняется , поскольку
, проверим выполнение равенства : 
из рисунка видно , что 
, а 
подставим значения 
, 
и 
( из 2) , сократив сразу на 
, и учитывая (4) получим : 
подставляем
из второго уравнения системы (8) : 
таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))
и 
Анализ формул Френеля
Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения
. Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга 
падающей и отраженной ( 
и 
в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей ( 
и
) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь: 
А. Отражение
Исследуем сначала поведение
и 
на границах отрезка 
:при
(просто положить 
равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ): 
для случая падения из воздуха в стекло (
) : 
т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при
: 
Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.
В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях
больших , чем 
, вычисляемого следующим образом: 
[1][к1]Для падения из стекла в воздух
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому
в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до , в этом случае: 
Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции:
и 
Нам понадобится производная
, найдем ее как производную функции , заданной неявно :
