Колебания (стр. 4 из 5)
Если λ<<ω0 , то за время одного периода 2π/ω амплитуда затухающего колебания почти не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменением множителя е-λt. Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональны е-2λt. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону
(4.5)
где Е0 — начальное значение энергии.
Пусть теперь λ > ω0 . Тогда оба значения r вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения
(4.6)Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании |x|, т. е. в асимптотическом (при t → ∞) приближении к положению равновесия. Этот тип движения называют апериодическим затуханием.
Наконец, в особом случае, когда λ = ω0 , характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень r = ― λ . Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид
(4.7)Это — особый случай апериодического затухания, Оно тоже не имеет колебательного характера.
Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам xi, являются линейными функциями скоростей вида
(4.8)
Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов аik по индексам i и k. Методами же статистической физики можно показать, что всегда
aik = aki. (4.9)
Поэтому выражения (4.8) могут быть написаны в виде производных
(4.10)от квадратичной формы
(4.11)
называемой диссипативной функцией.
Силы (4.10) должны быть добавлены к правой стороне уравнений Лагранжа
(4.12)Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеем:
Поскольку F— квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой стороне равенства равна 2F. Таким образом,
(4.13)т е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда F > 0, т. е. квадратичная форма (4.11) существенно положительна.
Уравнения малых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (4.8) в правую сторону уравнений (3.5):
(4.14)
Положив в этих уравнениях
xk = Akert,
получим по сокращении на ert систему линейных алгебраических уравнений для постоянных Ak
(4.15)Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения r:
(4.16)
Это — уравнение степени 2s относительно r. Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть. В противном случае координаты и скорости, а с ними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем как наличие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии.
Вынужденные колебания при наличии трения
Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному в п. 1.2 вынужденные колебания. Мы остановимся здесь подробно на представляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.
Прибавив в правой стороне уравнения (4.1) внешнюю силу f cos yt и разделив на т, получим уравнение движения в виде
(5.1)
Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части eiγt вместо cos yt:
Частный интеграл ищем в виде x = B eiγt и находим для В:
(5.2)Представив В в виде beiδ, имеем для b и δ:
(5.3)Наконец, отделив вещественную часть от выражения Beiγt = bei(γt+δ), получим частный интеграл уравнения (5.1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой части (которое мы напишем для определенности для случая ω0>λ), получим окончательно:
х = ае-λt cos (ωt+ a) + b cos (γt + δ). (5.4)
Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член:
x = b cos (γt + δ). (5.5)
Выражение (5.3) для амплитуды b вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении частоты γ к ω0, но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствие трения. При заданной амплитуде силы f амплитуда колебания максимальна при частоте
при λ<<<ω0 это значение отличается от ω0 лишь на величину второго порядка малости.
Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим γ = ω0 + ε, где ε — малая величина; будем также считать, что λ<<ω0. Тогда в (5.2) можно приближенно заменить:
так что
(5.6)или
(5.7)Отметим характерную особенность хода изменения разности фаз δ между колебанием и вынуждающей силой при изменении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т. е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны γ < ω0, δ стремится к нулю, а со стороны γ > ω0 — к значению — π. Изменение δ от нуля до — π происходит в узкой (ширины ~ λ) области частот, близких к ω0; через значение -π/2 разность фаз проходит при γ = ω0. Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденного колебания на величину π происходит скачком при γ = ω0 (второй член в (2.4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок.
При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (5.5), ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличию трения. Обозначим посредством I(γ) количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно (4.13) имеем: I (γ) = 2F,
где F — среднее (по периоду колебания) значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение (4.11) диссипативной функции сводится к
Подставив сюда (5.5), получим:
Среднее по времени значение квадрата синуса равно ½ , поэтому
I(γ) = λmb²γ². (5.8)
Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (5.7), имеем:
(5.9)Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (рис. 1)
называют значение |ε|, при котором величина I(ε) уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при ε = 0.Из формулы (5.9) видно, что в данном случае эта полуширина совпадает с показателем затухания λ. Высота же максимума
I (0) = f ² / 4mλ
обратно пропорциональна λ. Таким образом, при уменьшении показателя затухания резонансная кривая становится уже и выше, т. е. ее максимум становится более острым. Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. Последняя дается интегралом