Трехмерное напряжение и деформированное состояние (стр. 1 из 4)
ТРЕХМЕРНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
1. Напряжённое состояние в точке
Вспомним, как нами было введено понятие напряжения. Рассмотрим тело, находящееся под действием системы уравновешенных сил (рис.48).
 |
Рис.48
Будем исследовать внутренние силы в малой области окружающей точку
, для чего проведём через данную точку сечение, рассекая тело на две части, и отбросим одну из них. Действие отброшенной части заменим внутренними силами (рис.49). 
Рис. 49
Выделим малую площадку
, содержащую точку . Внешнюю нормаль этой площадки обозначим 
.Результирующую внутренних сил, действующих на площадку
, обозначим 
. Деля результирующую на получим величину среднего напряжения по площадке 
Величина
зависит от размеров площадки. Чтобы избавиться от влияния размеров площадки , перейдём к пределу и будем стягивать площадку к точке 
(1)Величину
будем называть полным напряжением в точке по площадке с внешней нормалью .Совершенно очевидно, что если мы выберем другую площадку, проходящую через точку
, но ориентированную другим образом, то в общем случае вектор полного напряжения окажется иным.Совокупность всех векторов полного напряжения по всем площадкам, проходящим через данную точку, составляет напряженное состояние в данной точке.
Напряжённое состояние в данной точке известно, если известны напряжения по трём взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку.
Докажем это важнейшее положение.
Нас интересует напряжённое состояние в точке
. Выделим в окрестности этой точки малый прямоугольный параллелепипед (рис.50). Размеры параллелепипеда настолько малы, что напряжённое состояние в пределах параллелепипеда можно считать однородным, и что грани параллелепипеда являются площадками, проходящими через точку и имеющими внешними нормалями оси 
Рис. 50
Полное напряжение можно разложить на три составляющие, направленные по координатным осям. Всего будем иметь 9 компонент напряжённого состояния: три нормальных и шесть касательных напряжений. Нормальные напряжения обозначим
и припишем индекс, указывающий внешнюю нормаль.Например:
— нормальное напряжение по площадке с внешней нормалью 
.Касательные напряжения обозначаются
с двумя индексами. Первый индекс указывает площадку, второй – направление напряжения.Например
— касательное напряжение по площадке с внешней нормалью , параллельное оси Y.Нормальное напряжение считается положительным, если оно направлено по внешней нормали, т.е. является растягивающим.
Касательные напряжения считаются положительными, если при положительной внешней нормали они направлены в сторону положительных координатных осей.
Совершенно очевидно, что по противоположным граням параллелепипеда действуют равные по величине и противоположные по направлению напряжения.
Заметим также, что хотя на рис.50 компоненты напряжённого состояния показаны в виде векторов, они являются величинами скалярными.
Докажем, что касательные напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам равны. Т.к. тело, из которого вырезан элементарный параллелепипед, находится в равновесии, то условия равновесия применимы и к элементу объёма. Запишем условие, что сумма моментов всех сил приложенных к элементарному параллелепипеду относительно координатных осей равна нулю
Раскроем первое из этих уравнений
,откуда
т.е. закон парности касательных напряжений.
Два других уравнения дадут равенства:
; 
Таким образом, независимых составляющих 6.
А теперь докажем положение высказанное на стр.2 о том, что зная напряжения, действующие по любым трём взаимно перпендикулярным площадкам, можно определить напряжения по любой площадке, проходящей через данную точку.
Вырежем в окрестности исследуемой точки элементарный тетраэдр с бесконечно малыми рёбрами. Три грани тетраэдра параллельны координатным плоскостям, а четвёртая наклонна к первым трём и её внешняя нормаль
(рис.51).  |
Рис. 51
Напряжения
(2)возникающие по площадкам с внешними нормалями
считаем известными.Нужно найти полное напряжение по площадке с внешней нормалью
— 
. Составляющие полного напряжения, направленные по координатным осям обозначим 
.Направляющие косинусы нормали обозначим:
; 
; 
(3)Если принять площадь грани
— 
, то площади остальных граней 
; 
; 
Составим уравнения равновесия для тетраэдра
Используя также условия
; 
, получаем следующие соотношения 
(4) 
Совокупность 6 компонент напряжённого состояния (2) составляет тензор напряжений. Зная тензор напряжений (2), можно с помощью соотношений (4) определить напряжения по любой площадке в данной точке.