Трехмерное напряжение и деформированное состояние (стр. 3 из 4)
(точное значение 3200).
(точное значение 48000).
Наибольшие касательные напряжения равны
5. Классификация напряжённых состояний
Частные случаи определения главных напряжений:
1) Если все три главные напряжения отличны от нуля, то напряжённое состояние называется объёмным или трехосным.
2) Когда два главные напряжения отличны от нуля, напряжённое состояние называется плоским или двуосным. Кубичный инвариант при этом равен нулю:
.В этом случае уравнение (8) принимает вид:
откуда следует, что один из корней равен нулю. Два остальных найдутся из решения квадратичного уравнения.
(11)Если напряжения действуют только лишь в одной плоскости, например, в плоскости, параллельной координатной плоскости X—Y, то тензор напряжений будет состоять из трёх независимых компонент (ненулевых).
Инварианты напряжённого состояния будут равны:
; 
подставим эти выражения в (11)
получаем главные напряжения:
(12)3) Если кубичный и квадратичный инварианты одновременно равны нулю, то уравнение (8) даёт лишь один корень отличный от нуля.
; 
Напряжённое состояние называется в этом случае линейным или одноосным.
Приведённая выше классификация не является исчерпывающей, и поэтому принято классифицировать напряжённые состояния ещё в зависимости от знака главных напряжений. В этом случае все напряжённые состояния можно разделить на три класса:
1. Трёхосные растяжения. В этом случае ни одно из главных напряжений не является сжимающим.
2. Трёхосные сжатия, когда ни одного из главных напряжений не является растягивающим.
3. Смешанные напряжённые состояния, когда наибольшее и наименьшее главные напряжения имеют разные знаки.
Примеры различных типов напряжённых состояний см. в учебнике В.И.Феодосьева “Сопротивление материалов”, 1986 г. стр.270-274.
6. Определение напряжений по площадкам параллельным направлению одного из главных напряжений
В практических задачах часто сталкиваются с таким положением, когда положение одной из главных площадок заранее известно. Решение в этом случае значительно упрощается.
Рассмотрим элемент в виде параллелепипеда. Грани параллелепипеда являются главными площадками (рис.56).
Выделим из параллелепипеда треугольную призму. Наклонная к координатным плоскостям грань параллельна направлению главного напряжения
. Составим условия равновесия элементарной призмы. 
Рис. 56
Проектируя на направление нормали к площадке, получаем:
Сумма проекций всех сил на направление
даст: 
Упрощая полученные выражения, получаем окончательно:
(12)Если рассматривать
и 
как декартовы координаты на плоскости, то легко обнаружить, что уравнения (12) представляют собой уравнение окружности в параметрическом виде: 
Возводя оба равенства в квадрат и складывая, получаем:
т.е. уравнение окружности с центром находящимся на оси
на расстоянии 
от начала координат и радиусом 
(рис.57). 
Рис. 57
Полученный круг называется круговой диаграммой Мора. Если не принимать во внимание знак касательного напряжения, то можно ограничиться построением только верхней половины круга Мора.
Построенная диаграмма имеет следующий смысл: каждой площадке параллельной направлению напряжения
соответствует точка на окружности.Площадкам общего положения, не параллельным ни одному из главных напряжений, соответствуют точки расположенные в заштрихованной области (рис.59).
Наложим круговые диаграммы на один чертёж.
Рис. 59
7. Определение главных напряжений в случае, когда известно положение одной из главных площадок
Пускай
— главное напряжение. Требуется найти величину двух других главных напряжений. Введём систему координат , 
, и нанесём точки, соответствующие площадкам I и II (рис.61) 
Рис.61
Проведём через точки I и II окружность, центр которой лежит на оси
. Точки пересечения круговой диаграммы с осью дадут значения главных напряжений 
и 
.Определяя
и 
из чертежа, приходим к знакомой формуле (12).8. Дифференциальные уравнения равновесия
Пусть
— произвольный объём тела ограниченный замкнутой поверхностью 
.Вектор массовых сил, отнесённый к единичному объёму, обозначим
, а вектор поверхностных сил, действующих на единичную площадь 
, где 
— нормаль к поверхности в данной точке.Главный вектор внешних сил, действующих на тело, состоящий из главного вектора объёмных сил равен нулю:
Спроектируем это равенство на ось X:
Используя первую из формул (4) и учитывая (3) получим
С помощью формулы Грина-Остроградского преобразуем поверхностный интеграл к объёмному.
Т.к. условия равновесия должны соблюдаться для любого объёма, то подынтегральная функция должна быть равной нулю в любой точке тела. Аналогичным образом, проектируя векторное равенство (*) на оси Y и Z получим систему дифференциальных уравнений равновесия.
9. Деформированное состояние в точке
Деформированное состояние в точке определяется тензором деформаций. Т.е. удлинение в данной точке по любому направлению может быть вычислено, если заданы удлинения по трём взаимно перпендикулярным осям и углы сдвига по трём взаимно перпендикулярным площадкам, нормалями к которым служат оси.
Тензор деформаций выглядит
Здесь
, 
, 
— деформации относительного удлинения в направлении соответствующих осей.