Трехмерное напряжение и деформированное состояние (стр. 2 из 4)

Величина полного напряжения определится

Для того чтобы определить нормальное напряжение по площадке с внешней нормалью

, надо спроектировать на нормаль составляющие полного напряжения (рис.52).

Рис. 52

Подставляя выражение (4), получаем:

(5)

Касательное напряжение определяется

2. Главные напряжения

В окрестности любой точки существуют три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения по которым равны нулю. Эти площадки называются главными, а напряжения, действующие на них главными напряжениями.

Покажем, как находить главные напряжения и главные площадки в общем случае.

Допустим, что главная площадка существует и её внешняя нормаль

. Главное напряжение совпадает по направлению с внешней нормалью и составляющие напряжения по координатным осям равны:

(6)

Внесём выражения (6) в уравнения (4) и получим систему трёх уравнений однородных относительно направляющих косинусов

, , :

(7)

Кроме того, направляющие косинусы связаны между собой соотношением

(8)

В силу соотношения (7) система (6) не может иметь тривиального решения:

, , , следовательно, определитель системы (6) должен быть равен нулю.

Раскроем определитель

Или

Полученное кубическое уравнение перепишем:

, (9)

где коэффициенты имеют следующее выражение

т.е.

равняется сумме миноров элементов, стоящих на главной диагонали определителя, составленного из компонентов тензора напряжений (2)

т.е.

равняется определителю, составленному из компонентов тензора напряжений (2). Т.к. матрица, составленная из компонентов тензора напряжений симметрична, уравнение (9) имеет три действительных корня — три главных напряжения, которые пронумеруем в порядке их алгебраической величины

Главные напряжения в данной точке при заданном напряжённом состоянии не могут зависеть от выбора исходных площадок, т.е. от выбора координатных осей, следовательно, коэффициенты уравнения (8) инварианты по отношению к выбору системы координат. Они называются инвариантами тензора напряжений

— линейный инвариант

— квадратичный инвариант

— кубичный инвариант

Найдя из уравнения (9) главные напряжения и внося их в любые 2 уравнения (7) и добавляя соотношение (8) находим направляющие косинусы главных площадок.

3. Главные касательные напряжения

Экстремальные касательные напряжения возникают по площадкам, проходящим через рёбра параллелепипеда, гранями которого являются главные площадки, и делящим пополам прямые углы между гранями (рис.54).

Рис. 54

Наибольшим из главных касательных напряжений является напряжение

(10)

4. Пример

Определить величину главных напряжений и наибольшее касательное напряжение для заданного (рис.55) напряжённого состояния

; ;

;

Тензор напряжений в этом случае будет выглядеть

Вычисляем инварианты напряжённого состояния

;

Рис. 55

;

Составляем кубическое уравнение

Решим кубическое уравнение, для чего рассмотрим функцию

;

методом попыток устанавливаем, что один из корней многочлена

равняется приблизительно .

Уточним этот корень с помощью итерационного метода Ньютона

Примем

Проделывая ещё раз ряд итераций, получаем

т.е. практически точный результат.

Найдём два других корня. На основании следствия из теоремы Безу:

многочлен

должен делиться без остатка на двучлен

,

где

— корень многочлена.

Разделим

на

Многочлен разделился практически без остатка. Для того чтобы найти другие два корня, решим квадратное уравнение

;

Сопоставляя

, и устанавливаем

; ;

Проверим полученное решение, вычислив для этого инварианты через главные напряжения