Элементы теории оптических резонаторов (стр. 1 из 5)

Элементы теории оптических резонаторов

1. Общие сведения

Дадим сначала качественную терминологию. Резонатор (от лат. resono - звучу в ответ, откликаюсь) - устройство или природный объект, в котором происходит накопление энергии колебаний, поставляемой извне. Как правило, резонаторы относятся к линейным колебательным системам и характеризуются резонансными частотами. При приближении частоты внешнего воздействия к резонансной частоте в резонаторе наблюдается достаточно резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний. Это - явление резонанса. После отключения внешнего источника колебания внутри резонатора какое-то время сохраняются. Они совершаются на частотах, близких к резонансным, и представляют собой уже собственные или свободные колебания резонатора (моды). Если пренебречь диссипацией (в т. ч. потерями на излучение), то резонатор ведёт себя как идеальная консервативная колебательная система, обладающая дискретным спектром собственных колебаний. При наличии потерь чисто гармонические собственные колебания невозможны, соответствующие им резонансные кривые резонатора уширяются. Это уширение характеризуют добротностью Q = w/Dw (w - резонансная частота, Dw-ширина резонансной кривой). Добротность определяет отношение запасённой в резонаторе колебательной энергии W к энергии потерь за один период колебаний, Q = wW/P (P - мощность потерь); однако следует иметь в виду, что само понятие запасённой энергии в диссипативных системах является до некоторой степени условным, зависящим от принятой модели (идеализации) резонатора.

Введем теперь некоторое формальное рассмотрение, а именно рассмотрим прямоугольную полость с идеально проводящими стенками, равномерно заполненную диэлектриком. Вычислим распределение стоячих электромагнитных волн, которое может существовать в этой полости. Согласно уравнениям Максвелла, напряженность электрического поля

волны должна удовлетворять волновому уравнению , где с - скорость света в рассматриваемой среде. Кроме того, напряженность электрического поля должна удовлетворять следующему граничному условию на каждой стенке: , где - нормаль к поверхности рассматриваемой стенки. Это условие выражает тот факт, что тангенциальная компонента электрического поля должна обращаться в нуль на стенках полости. Эта задача решается методом разделения переменных, т.е. решение ищется в виде . Подставляя его в уравнение, получим два независимых уравнения на пространственные и временную переменные:

где k - постоянная величина. Второе уравнение имеет общее решение

,

где

и - произвольные постоянные величины, . Если функция A(t) дается последним выражением, то решение соответствует определенной конфигурации стоячей волны электромагнитного поля внутри полости. Действительно амплитуда этой волны в данной полости является постоянной во времени. Решение такого типа называется электромагнитной модой полости.

Рассмотрим теперь первое уравнение. Это есть уравнение Гельмгольца. Нетрудно убедиться, что ему удовлетворяют выражения

для любых значений

, при условии, что . Кроме того, эти решения уже удовлетворяют граничным условиям на трех плоскостях x=0, y=0, z=0. Если мы потребуем, чтобы граничные условия были выполнены и на других стенках полости, то получим , , где l,m,n - произвольные положительные целые числа, которые представляют собой количества узлов моды стоячей волны в направлениях соответственно x, y, z. При заданных l,m,nчастота моды будет определяться выражением:

Однако сама мода еще полностью не определена, поскольку остаются произвольными

. Тем не менее, из уравнений Максвелла следует еще одно условие, которому должно удовлетворять электрическое поле, а именно . Из этого условия с помощью выражений для получаем . Отсюда видно, что при заданных l,m,nиз трех величин только две являются независимыми, вектор при этом лежит в плоскости, перпендикулярной . В этой плоскости для выбора направления вектора остаются лишь две степени свободы и, следовательно, возможны только две моды. Любой другой вектор, лежащий в этой плоскости, можно представить в виде линейной комбинации двух уже выбранных векторов.

Подсчитаем теперь число

мод полости, имеющих частоты от 0 до . Это число будет такое же, как и число мод, волновой вектор которых имеет величину в пределах от 0 до . Из выражений для видно в - пространстве возможные значения для даются векторами, соединяющими начало координат с узловыми точками трехмерной решетки (см. рис.).

Поскольку величины

, являются положительными, мы должны учитывать только точки, лежащие в положительном октанте. Число таких точек, соответствующих величинам от 0 до , равно одной восьмой отношения объема сферы с центром в начале координат и радиусом к объему элементарной ячейки размерами , , . Поскольку для каждого значения возможно существование двух мод, мы имеем

где

- объем полости.

2. Резонатор Фабри-Перо

Резонатор Фабри-Перо состоит из двух плоских зеркал, расположенных параллельно друг другу. В первом приближении моды такого резонатора можно представить как суперпозицию двух плоских электромагнитных волн, распространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси резонатора. В рамках этого приближения нетрудно получить резонансные частоты, если наложить условие, что длина резонатора L должна быть равна целому числу полуволн, т. е.

, где - положительное целое число. Такое условие является необходимым для того, чтобы на обоих зеркалах электрическое поле электромагнитной стоячей волны было равно нулю. Отсюда следует, что резонансные частоты определяются следующим образом: . Интересно заметить, что такое же самое выражение можно получить, если наложить условие, чтобы набег фазы плоской волны после полного прохода (в прямом и обратном направлении) через резонатор был бы равен целому числу, умноженному на , т.е. . Это условие нетрудно получить из соображений самосогласованности. Если частота плоской волны равна частоте моды резонатора, то набег фазы волны при полном проходе резонатора должен быть равен нулю (без учета целого, кратного ), поскольку только в этом случае благодаря последовательным отражениям амплитуды волн в любой произвольной точке будут складываться в фазе и давать значительное суммарное поле.