Элементы теории оптических резонаторов (стр. 5 из 5)
Распространение гауссова пучка можно описать в более простой и удобной форме, если определить комплексный параметр qследующим образом:
. Нетрудно показать, что использование параметра qпозволяет записать выражения для 
и R(z) в значительно более простом виде: 
где
Параметр qназывается комплексным радиусом кривизны гауссова пучка или, что более привычно, комплексным параметром пучка.
Действительно, в соответствии с выражением для U(x,y,z) (см. пред. пункт) поперечное изменение фазы пучка можно записать как
что совпадает с аналогичной записью в случае сферической волны, причем радиус кривизны сферической волны Rзаменяется параметром q.
Параметр qобеспечивает весьма удобный способ описания распространения гауссова пучка, как видно, например, из очень простого вида закона распространения пучка, записанного через параметр q. Это удобство связано также и со следующим общим результатом: если гауссов пучок на входе некоторой оптической системы, описываемой данной ABCD-матрицей, характеризуется комплексным параметром q1, то на выходе этой системы параметр пучка q2 запишется весьма просто:
Этот закон обычно называют правилом ABCDили ABCD-законом распространения гауссова пучка.
6. Добротность резонатора
Рассмотрим для простоты плоскопараллельный резонатор. В этом случае, исходя из приведенного выше рассмотрения, каждую моду резонатора можно представить себе как суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Пусть I0 - начальная интенсивность одной из этих волн. Если R1 и R2 - коэффициенты отражения (по мощности) 2-х зеркал, а Ti - относительные внутренние потери за проход вследствие дифракции, то интенсивность I(t1) в момент времени t=2L/c, т.е. после одного полного прохода резонатора, запишется в виде
Интенсивность после m полных проходов, т. е. в момент времени tm=2mL/c, равна
Если q(t) - полное число фотонов в резонаторе в момент времени t, то, разумеется, оно пропорционально интенсивности, т.е.
, и поэтому 
, где 
- число фотонов, изначально присутствующих в резонаторе. Следовательно, число фотонов в момент времени 
равно 
. Сравнение 2-х последних выражений показывает, что 
, откуда находим время жизни фотона 
Если теперь предположить, что последнее соотношение для
справедливо не только в момент времени , но в любой момент t>0, то можно написать 
. Отметим, что время жизни фотона много больше, времени прохода.При условии, что последнее выражение справедливо, временную зависимость электрического поля в произвольной точке внутри или вне резонатора можно представить в виде
С помощью Фурье-преобразования этого выражения нетрудно показать, что спектр мощности излучения имеет лоренцеву форму линии с полушириной (полная ширина на половине максимального значения):
.Рассмотрев время жизни фотона в резонаторе, определим теперь понятие добротности резонатора и найдем связь этой величины с временем жизни фотона. Для любой резонансной системы, и в частности для резонирующей полости, добротность определяют как Q=2π∙(Запасенная энергия) /(Энергия, теряемая за один цикл колебания). Таким образом, высокая добротность резонатора означает, что резонансная система имеет малые потери. Поскольку в нашем случае запасенная энергия равна
, а энергия, теряемая в течение одного цикла колебания, равна 
, мы имеем 
.При этом из последнего выражения для
, находим 
Подставив сюда 
, получим 
Таким образом, добротность резонатора равна отношению резонансной частоты
к ширине линии резонатора . В течение одного цикла колебания оптический резонатор теряет небольшую долю энергии.Литература
1. О. Звелто. Принципы лазеров. Москва, «Мир», 1990.
2. И. Радунская. Крушение парадоксов. «Молодая гвардия», 1971.
3. www.femto.com.ua