Элементы теории оптических резонаторов (стр. 3 из 5)

В последнем выражении при L>>a,

и . Чтобы получить соответствующее выражение для фазового множителя , запишем в виде

где мы разложили в ряд выражение, стоящее под знаком квадратного корня. При выполнении условия

остаточным членом ряда можно пренебречь. Поскольку представляет собой сходящийся знакопеременный ряд, его величина не превышает первого члена. Отсюда следует, что для выполнения условия достаточно, чтобы выполнялось неравенство или , где - число Френеля. Т.о., при выполнении 2-х условий и можно записать следующее приближенное выражение:

Используя это выражение и безразмерные параметры

, , наше интегральное уравнение можно переписать в безразмерном виде:

где

.

Для зеркал квадратной или прямоугольной формы в последнем уравнении можно разделить переменные

Получим два уравнения на :

Можно показать, что функция

представляет собой распределение поля в резонаторе, образованном двумя плоскопараллельными зеркалами длиной 2aв направлении оси х и бесконечно протяженными в направлении оси y(ленточные зеркала). Аналогичная интерпретация справедлива и в отношении . Будем различать собственные функции и собственные значения последних уравнений с помощью соответствующих индексов mи l. Т.о., согласно определениям и , имеем

.

Замечательно, насколько постановка задачи Фокса и Ли совпадает со старым подходом Гюйгенса: между зеркалами бегает световой импульс, волновая сущность света отступает на второй план. Естественно, что их расчет основан на простейшей математической формулировке принципа Гюйгенса. Дальше они применяют известный интеграл Френеля и... приходят к сложным интегральным уравнениям. Решений этих уравнений нет ни в одной книге по математике, ни в одном математическом журнале.

Живи Фокс и Ли во времена Френеля, это было бы тупиком. Но шло шестое десятилетие нашего века, и они обратились к помощи вычислительной машины. Машине предложили несколько вариантов задачи - плоские зеркала в виде круглых дисков или в виде узких полос и вогнутые зеркала с различным фокусным расстоянием. Машина IBM-704 шаг за шагом проследила за тем, как деформируется волна по мере увеличения числа проходов, и показала, что через несколько сот таких прохождений форма волны практически перестает изменяться.

Далее машина уточнила, что оптический резонатор выделяет из всего мыслимого разнообразия волн лишь определенный набор, соответствующий частотам, характерным для данного резонатора. Машина выдала свой ответ в виде численных таблиц и графиков. Но ученые мирятся с такими ответами только за неимением более удобных ответов, имеющих вид известных математических функций. Ученые привыкли к функциям в результате трехвековой тренировки, передаваемой от учителя к ученику, от поколения к поколению. Не удивительно, что они стремились найти подобное решение и для этой задачи.

4. Конфокальный резонатор

Рассмотрим резонатор длиной L, одну зеркальную поверхность будем описывать в системе координат (x₁,y₁), а другую - в системе координат (x₂,y₂). В рамках скалярного приближения собственные решения даются выражением (*). При L>>a,

и . Для того, чтобы найти соответствующее приближение для фазового множителя kr, мы должны сначала вычислить расстояние rмежду P₁и Р₂ как функцию их координат и разложить rв степенной ряд: Вводя безразмерные переменные , , (*) можно записать в виде

где

- имеет прежнее определение. Ищем решение методом разделения переменных, в итоге получаем следующие уравнения:

Эти уравнения имеют конечный набор собственных решений

В отличие от резонатора с плоскими зеркалами последние интегральные уравнения можно решить аналитически. Можно показать, что , пропорциональны т.н. угловым сфероидальным функциям Фламмера, а , пропорциональны т.н. радиальным сфероидальным функциям Фламмера. Оказывается, если перейти обратно в исходные координаты xи y, то собственные функции можно записать в виде

где

- полином Эрмита n-ого порядка. Т.о., полная собственная функция записывается в виде

Следует заметить, что в общем случае индексы m и lравны числу нулей поля (за исключением нулей при

) соответственно вдоль осей х и у. Собственные значения, при ,

Резонансные частоты удовлетворяют условию

, отсюда выражение для резонансных частот: . Заметим, что если для разных n,m,lсумма 2n+m+lодинакова, то моды имеют одинаковые резонансные частоты при различных пространственных конфигурациях. Разность частот между 2-мя модами (межмодовое расстояние) теперь не такая, как у плоских волн, она равна . Однако при одинаковых m,l, но n, отличающихся на единицу, разность частот будет , т.е. такая же, как для резонатора с плоскими зеркалами.