Элементы теории оптических резонаторов (стр. 2 из 5)

Впервые плоскопараллельный резонатор (резонатор Фабри-Перо) рассмотрели Шавлов и Таунс, которые предложили распространить принцип действия мазера на оптический диапозон. Рассматривая эту задачу, они использовали аналогию с закрытым прямоугольным резонатором, моды которого хорошо известны.

Напомним, что для прямоугольного резонатора составляющие напряженности электрического поля можно написать в виде

а резонансные частоты даются выражением

Заметим, что выражения для

можно записать в комплексной форме, если представить синусы и косинусы через экспоненциальные функции. При этом можно показать, что каждая составляющая поля Е записывается как сумма восьми членов вида

,

т.е. как сумма восьми плоских волн, распространяющихся вдоль направлений, определяемых восемью волновыми векторами с компонентами , и . Следовательно, направляющие косинусы этих векторов равны , где - длина волны, соответствующая данной моде. Суперпозиция этих восьми плоских волн дает стоячую волну, определяемую выражениями для . Кроме того, Шавлов и Таунс высказали предположение о том, что моды открытого резонатора с хорошей точностью описываются теми модами прямоугольного резонатора, для которых (l,m) <<n(открытый резонатор получается из закрытого путем удаления боковых стенок). Доказательством справедливости этого предположения является то, что моды рассматриваемого нами резонатора можно представить в виде суперпозиции плоских волн, распространяющихся под очень малыми углами к оси z. Следовательно, можно ожидать, что отсутствие боковой поверхности существенно не изменит эти моды. Однако на те моды, у которых значения lи mне малы по сравнению с n, отсутствие боковой поверхности окажет сильное влияние. После удаления боковых сторон резонатора дифракционные потери для этих мод становятся столь большими, что их не имеет смысла в дальнейшем рассматривать. Если (l,m) <<n, то резонансные частоты плоскопараллельного резонатора можно найти из выражения для путем разложения его в степенной ряд:

Таким образом, для каждого набора трех значений I, m и nсуществует вполне определенная мода резонатора с вполне определенной резонансной частотой. Из последнего выражения можно сразу получить разность частот

между двумя модами, имеющими одни и те же значения lи m, но различающиеся на единицу значения n. Таким образом, . Эти две моды отличаются друг от друга лишь распределением поля вдоль оси z(т. е. в продольном направлении). Поэтому нередко называют разностью частот между двумя последовательными продольными модами. Разность частот между двумя модами, различающимися лишь значениями m на единицу (т. е. разность частот между последовательными поперечными модами), записывается в виде

.

Для типичных значений Lвеличины

составляют порядка несколько сотен мегагерц, тогда как (или ) - порядка нескольких мегагерц. Следует заметить, что моды с одинаковыми n, но разными lи m, удовлетворяющие условию l²+m²=const, имеют одну и ту же частоту и поэтому их называют частотно-вырожденными.

3. Теория Фокса и Ли

Американские исследователи А. Фокс и Т. Ли первыми взялись за исследование оптического резонатора. Они отлично понимали, что расчеты оптического интерферометра Фабри - Перо, по существу не отличающегося от резонатора лазера, здесь непригодны. Дело в том, что применение интерферометра Фабри - Перо в классической оптике предусматривает освещение его извне световыми волнами, плоские фронты которых падают на интерферометр параллельно его зеркалам. В интерферометре возникает система стоячих плоских волн. Кроме того, в оптических интерферометрах поперечные размеры зеркал обычно превосходят расстояние между ними.

В лазере ситуация полностью меняется. Энергия не поступает в его резонатор-интерферометр извне. Она выделяется внутри его. Причем процесс самовозбуждения лазера состоит в том, что случайно возникшая в нем слабая волна постепенно усиливается внутри резонатора в результате многочисленных пробегов от одного зеркала к другому и обратно. А расстояние между зеркалами много больше, чем их размеры.

Фокc и Ли задались целью проследить за тем, что происходит со световой волной, бегающей между зеркалами. Для упрощения задачи они отказались на этой стадии от рассмотрения самой активной среды лазера и считали зеркала идеальными, то есть отражающими свет без потерь. Они решали эту задачу в т.н. скалярном приближении, нередко используемом в оптике. В этом приближении электромагнитное поле предполагается почти поперечным и однородно поляризованным (например, линейно или по кругу).

Поле волны можно записать в виде скалярной величины U, представляющей амплитуду электрического (или магнитного) поля. Пусть U₁ - некоторое произвольное распределение поля на зеркале 1. Тогда из-за дифракции это распределение вызовет соответствующее распределение поля на зеркале 2, выражение для которого можно получить с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа. При этом в произвольной точке P₂ зеркала 2 поле U₂(P₂) дается выражением, где - расстояние между точками P₁ и P₂, - угол, который отрезок P₁P₂ составляет с нормалью поверхности зеркала в точке P₁, dS₁ - элемент поверхности в точке P₁, интеграл вычисляется по всей поверхности зеркала 1. В этом выражении можно разглядеть принцип Гюйгенса: каждый элемент dS₁ можно рассматривать как источник сферической волны , причем поле на поверхности 2 обусловлено суперпозицией этих сферических волн. Угловой множитель - «коэффициент наклона», - нормирующий коэффициент, в частности имеет интересную физическую интерпретацию: испускаемая сферическая волна сдвинута по фазе на по сравнению с полем на поверхности 1.

Вместо того чтобы изучать общее распределение U₁, рассмотрим распределение U, соответствующее моде резонатора. В этом случае распределение поля на зеркале 2, вычисленное по последней формуле, с точностью до некоторого постоянного множителя должно быть снова равно U. Таким образом, получаем следующее выражение:

где

- постоянная величина. Это выражение представляет собой однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные решения Uэтого уравнения определяют распределения поля на зеркалах резонатора, соответствующие его модам. Т.к. интегральный оператор в выражении неэрмитов, собственные значения не являются вещественными и, следовательно, как амплитуда, так и фаза имеют непосредственный физический смысл. Если , то можно сразу показать, что величина определяет относительные потери мощности за проход, обусловленные дифракцией. Величина представляет собой запаздывание волны по фазе при распространении ее от одного зеркала до другого. Т.о., величина представляет собой запаздывание по фазе при полном проходе резонатора и зависит от волнового числа k, т. е. от длины волны. Приравняв целым числам, умноженным на , получим резонансные частоты (как в простом случае, рассмотренном в пункте 2). Т.о., мы видим, что собственные решения и соответствующие собственные значения уравнения определяют все величины, представляющие интерес, а именно распределение поля на зеркалах, резонансные частоты и дифракционные потери. Если известно распределение поля U на зеркалах, то с помощью уравнения для U₂(P₂) можно вычислить поле в любой точке внутри (стоячая волна) и вне (бегущая волна) резонатора.