Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности (стр. 2 из 2)
4. Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой [конвективный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова. При обтекании твердого тела потоком жидкости (или газа) передача тепла от жидкости (газа) к поверхности тела в непосредственной близости к поверхности тела (ламинарный пограничный слой или ламинарный подслой) происходит по закону теплопроводности (молекулярный перенос тепла), т. е. имеет место теплообмен, соответствующий граничному условию четвертого рода
Тs(τ) = [Тс(τ)]s(3.14)
Помимо равенства температур, имеет место также равенство потоков тепла
-λc(∂Tc/∂n)s = -λ(∂T/∂n)s (3.15)
Дадим графическую интерпретацию четырех видов граничных условий (рис. 3.1).
Скалярная величина вектора теплового потока пропорциональна абсолютной величине градиента температуры, который численно равен тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения температуры вдоль нормали к изотермической поверхности, т.е
(∂T/∂n)s= tgφs
На рис. 3.1 изображены на поверхности тела четыре элемента поверхности ∆Sс нормалью к ней n (нормаль считается положительной, если она направлена наружу). По оси ординат отложена температура.
Рис. 3.1 Различные способы задания условий на поверхности
Граничное условие первого рода состоит в том, что задана Тs(τ); в простейшем случае Тs(τ) = const. Отыскивается наклон касательной к температурной кривой у поверхности тела, а тем самым и количество тепла, отдаваемое поверхностью (см. рис. 3.1., а).
Задачи с граничными условиями второго рода имеют обратный характер; задается тангенс угла наклона касательной к температурной кривой у поверхности тела (см. рис. 3.1, б); находится температура поверхности тела.
В задачах с граничными условиями третьего рода температура поверхности тела и тангенс угла наклона касательной к температурной кривой—величины переменные, но задается на внешней нормали точка С, через которую должны проходить все касательные к температурной кривой (см. рис. 3.1, в). Из граничного условия (3.13) следует
tgφs=(∂T/∂n)s = (Тs(τ) - Тс)/(λ∕α) (3.16)
Тангенс угла наклона касательной к температурной кривой у поверхности тела равен отношению противолежащего катета [Тs(τ)—Тc]
к прилежащему катету λ∕αсоответствующего прямоугольного треугольника. Прилежащий катет λ∕αявляется величиной постоянной, а противолежащий катет [Тs (τ) — Тс]непрерывно изменяется в процессе теплообмена прямо пропорционально tg φs. Отсюда следует, что направляющая точка С остается неизменной.
В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в теле и в среде на границах их раздела (см. рис. 3.1, г):
tg φs /tg φc = λc∕λ = const (3.17)
с учетом совершенного теплового контакта (касательные у поверхности раздела проходят через одну и ту же точку).
Выбирая для расчета тип того или иного простейшего граничного условия, следует помнить, что в действительности поверхность твердого тела всегда обменивается теплом с жидкой или газообразной средой. Можно приближенно считать границу тела изотермической в тех случаях, когда интенсивность поверхностного теплообмена заведомо велика, и адиабатической – если эта интенсивность заведомо мала.