Статистическая механика классических систем (стр. 2 из 3)
, (8.11)Тогда вероятность обнаружить термодинамическую систему, выделенную воображаемыми стенками, состоящую из N частиц, и находящихся в объеме
6N-мерного фазового пространства будет равна: 
(8.12)Распределение (8.12) представляет собой классический аналог большого канонического распределения Гиббса. Как и для свободной энергии, переход к классическому случаю сохраняет вид термодинамического потенциала
: 
.Кроме того, для распределения (8.12) вводится условие нормировки, предусматривающее суммирование по числу частиц:
(8.13)Смысл условия (8.13) заключается в том, что вероятность при заданных параметрах (
) найти термодинамическую систему, число частиц в которой может принимать значения от 0 до 
, где-то в фазовом пространстве, равной единице.Для перехода к классическому варианту микроканонического распределения необходимо ввести явный вид функции
. Будем предполагать, что она имеет вид: 
Одним из способов такого задания функции
является: 
(8.14)Здесь
- дельта-функция Дирака. Тогда классический вариант микроканонического распределения Гиббса имеет вид: 
(8.150Здесь через Г обозначен статистический вес:
(8.16)Физической интерпретацией выражения (8.16) является определенный с точностью до постоянного компонента объем слоя 6N-мерного фазового пространства (p,q), заключенного между энергетическими гиперповерхностями
и 
.Несмотря на эквивалентность всех формализмов равновесной статистической механики, наибольшее распространение в классической теории получило каноническое распределение Гиббса
и статистический интеграл 
. Это связано с удобством применения указанного распределения.2. Как отмечалось раньше, гамильтониан классической нерелятивистской системы равен:
, (8.17)причем, зависимость T(p) не зависит от вида потенциала взаимодействий U(q). Тогда распределение по импульсам также не зависит от вида потенциалов.
Подставляя (8.17) в (8.10), получаем:
Выполняя в последнем равенстве интегрирование по координатам всех частиц, получаем распределение по импульсам:
(8.18)Таким образом, из (8.18) следует мультипликативность распределения по импульсам в классической равновесной системе. Величина
учтена при записи константы.Мультипликативность распределения по импульсам приводит к тому, что оно распадается на произведение одинаковых распределений по импульсам каждой частицы:
(8.19)Учитывая связь квадрата импульса частицы с компонентами вдоль каждой из координат:
, получаем: 
(8.20)Тогда
, 
, 
(8.21)Коэффициенты С1, С2 и С3 в (8.21) определяется из условий нормировки
(8.22)Выполняя интегрирование в (8.22) и учитывая свойства интеграла Пуассона, получаем:
.Подставляя полученный результат в (8.21) и учитывая (8.20) получаем распределение по импульсам частицы:
(8.23)Выражение (8.23) может быть записано относительно скорости
движения частиц (распределение по скоростям): 
(8.24)Выражение (8.24) представляет распределение Максвелла по скоростям частиц.
С математической точки зрения распределение (8.23) и, соответственно (8.21), представляет распределение Гаусса около среднего значения
с дисперсией 
(8.25)Выражение (8.25) было получено без привлечения каких-либо дополнительных соображений, поэтому позволяет установить связь между температурой со средней кинематической энергией частиц. Из (8.25) непосредственно следует:
Тогда:
,Отсюда
, 
(8.26)В некоторых работах соотношение (8.26) обосновывается с помощью дополнительных соображений и позволяет интерпретировать температуру
как меру средней кинетической энергии 
. Однако соотношение (8.26), во-первых, получено только для классических систем. Во-вторых, интерпретация температуры как мера средней кинетической энергии частиц требует привлечения других механизмов ( не связанных с понятием температуры) для определения этой энергии.Поэтому соотношение (8.26) следует рассматривать как интегральный, но все-таки частный результат.
Далее рассмотрим идеальный газ, находящийся во внешнем потенциальном поле. Гамильтониан такой системы оказывается равным:
(8.27)Подставляя (8.27) в (8.10) с точностью до постоянного сомножителя имеем:
(8.28)Таким образом, гиббсовское распределение по координатам и импульсам распадается на 2N независимых распределений по координатам и импульсам каждой частицы. Распределения по импульсам
представляет собой полученное выше распределение Максвелла (8.). Рассмотрим более подробно распределение по координатам: 
(8.29)Это распределение характеризует распределение частиц в поле произвольного потенциала
.В частности, в поле сил тяжести
получаем известное барометрическое распределение: 
(8.30)Аналогичным образом выбирая в качестве
потенциал стенок, ограничивающих объем V, 
(8.31)получаем распределение
(8.31)Использование потенциала (8.31) и соответствующего распределения для классических систем аналогично ограничению области интегрирования по координатной составляющей фазового пространства N-кратно повторенной областью V.
Объединяя в соответствии с (8.28) распределение по координатам (8.29) и импульсам (8.23), получаем распределение по координатам и импульсам для каждой частицы:
(8.33)или распределение по координатам и скоростям:
(8.34)