Электричество и магнетизм изучение свойств ферромагнетиков (стр. 13 из 14)

В которых

- нормальная составляющая к замкнутой поверхности - заряды внутри поверхности, - нормальная к замкнутой поверхности составляющая плотности тока, - объемная плотность заряда в проводнике.

Если

и (медленно меняющийся ток),

, (1.14)

, (1.15)

Имеется подобие и между граничными условиями. На границе раздела диэлектриков тангенциальная и нормальная составляющие вектора напряженности электрического поля подчиняются условиям

;

В проводящей среде непрерывность тангенциальных составляющих следует из потенциальности поля тока. Граничные условия для нормальных составляющих вектора плотности тока

следуют из уравнения непрерывности

Из подобия граничных условий следует, что проводящая среда с током может служить моделью для исследования электростатического поля, если проводимость

среды заменить диэлектрической проницаемостью , заданной для моделируемого диэлектрика, а электроды в обоих случаях расположить одинаково. Поле в неоднородном диэлектрике, различные области которого имеют неодинаковую диэлектрическую проницаемость, можно также моделировать на проводящей среде, если подобны распределения и . Измерить распределение потенциала в проводящей среде проще, чем в диэлектрике, поэтому исследование на модели зачастую предпочтительнее, чем на электростатическом оригинале. Одной из задач электростатики, которая может быть решена с помощью моделирования, является определение емкости. Емкость исследуемой системы можно найти, измерив распределение потенциала в проводящей модели и вычислив его градиент (напряженность поля Е). Расчетная формула для емкости получается, если в определении емкости заменить заряд, по теореме Гаусса, потоком вектора электрического смещения через замкнутую поверхность:

, (1.16)

Тогда емкость

, (1.17)

Поток вычисляют по замкнутой эквипотенциальной поверхности, охватывающей электрод моделируемой системы, с использованием найденных на проводящей модели значений нормальной компоненты вектора напряженности

. Разность потенциалов берется равной напряжению между электродами модели, диэлектрическая проницаемость - значению, заданному для моделируемого диэлектрика.

Методика эксперимента

Описанная идея моделирования сравнительно легко реализуется для плоских полей (рис.1.3) методом электролитической ванны. Неглубокая ванна из изоляционного материала заполнена электролитом - слабым раствором соли в воде.

Рис 1.3

В ванну помещают электроды 1 и 2, конфигурация которых соответствует конфигурации обкладок конденсатора, а размеры пропорциональны размерам обкладок, чем обеспечивается геометрическое подобие. В электролите есть свободные заряды. Под действием поля электродов они могут и создавать свое поле, в результате чего устанавливается в электролите поле, равное сумме поля электродов и свободных зарядов, которое моделирует поле реальной системы

Моделируют плоские поля, такие, потенциал и напряженность которых зависят лишь от двух координат. Плоским является поле в коаксиальном конденсаторе вдали от его концов, в двухпроводной длинной линии, между одиночным проводом и проводящей поверхностью и т.п.

Для измерения потенциала в модели используют зонд (небольшой электрод в виде металлического стержня, соединенного через микроамперметр с подвижным контактом потенциометра Д. Четыре участка цепи - два между движком потенциометра и его концевыми контактами и два между зондом и электродами образуют мост постоянного тока. Ток в диагонали моста равен нулю, когда зонд установлен в точку, потенциал которой совпадает с потенциалом движка потенциометра. Разность потенциалов между нижним контактом потенциометра и его движком измеряют вольтметром.

В результате измерения получают систему эквипотенциалей с заданным шагом (рис.1.4 штриховые линии). „Для построения линий напряженности (силовых линий) используют следующий прием (рис.1.4). Проводят линию, соединяющую электроды, так, чтобы она совпала с осью симметрии поля. Из точки О на поверхности электрода измеряют расстояние 01 до ближайшей эквипотенциали. Это расстояние откладывают вдоль поверхности электрода, получая таким образом точку 1' на электроде. Через точку проводят отрезокперпендикулярно поверхности электрода. Откладывают расстояние 1'2' вдоль поверхности электрода и т.д. Построение закапчивают, дойдя до оси симметрии. Аналогичное построение производят от точки О в другую сторону (каждое построение следует заканчивать таким образом, чтобы длина последнего до оси симметрии отрезка на поверхности электрода была больше длины предпоследнего). Разделив таким образом ближайшую к электроду эквипотенциаль, через полученные точки (1; 2; 3;...;

) проводят перпендикулярные ей отрезки до пересечения со следующей эквипотенциально. Когда все эквипотенциали окажутся разделенными, полученные точки следует соединить плавными кривыми, соблюдая их ортогональность эквипотенциальным линиям в точках пересечения. Для вычисления потока вектора напряженности следует представить, что ближайшая к электроду замкнутая эквипотенциаль является деформированным цилиндром, образующая которого перпендикулярна плоскости. Напряженность поля считается в пределах каждого отрезка эквипотенциали постоянной и вычисляется по формуле:

, (1.18)

где

, - значения потенциалов на ближайших эквипотнциалях, - расстояние между соседними точками на ближайших эквипотнциалях.

Полагая напряженность поля

, в пределах каждого отрезка эквипотенциали примерно одинаковой, можно вычислить элемент потока вектора напряженности:

,

Тогда полный поток вектора напряженности равен:

(1.19)

где

- высота цилиндра; измеряют из построения, это секция эквипотенциальной поверхности между двумя соседними точками. Напряженность , вычисляют по формуле

, (1.20)

здесь

, определяют из построения поля как расстояние между средними точками отрезков на поверхности электрода и на ближайшей эквипотенциали; и - значения потенциалов на электроде и на эквипотенциали. Заряд, заключенный внутри замкнутой эквипотенциальной поверхности (цилиндра), вычисляют по теореме Гаусса:

, (1.21)

Из последней формулы легко вычислить емкость единичной длины (погонная емкость) моделируемой системы:

, (1.22)