1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью данной работы является изучение работы колебательного контура, свободных затухающих электромагнитных колебаний и их характеристик.
2,3. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА, ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Удобно исследовать закономерности этих процессов с использованием электромагнитного колебательного контура и осциллографа. Осциллограф позволяет визуализировать закон изменения колеблющейся величины во времени. В этой работе исследуются затухающие колебания, определяются основные параметры колебаний и колебательной системы.
Для получения дополнительной информации см. [1, 6, 7].
Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используют колебательный контур, представляющий собой замкнутую цепь, которая состоит из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивности L и омического (активного) сопротивления R. Омическое сопротивление является суммой сопротивлений соединительных проводов, провода катушки индуктивности и включенного в контур резистора. Рассмотрим, как возникают колебания в контуре. В начальный момент с помощью генератора одиночных импульсов конденсатор заряжается до некоторой разности потенциалов на его обкладках U. При этом обкладкам конденсатора сообщен заряд ±q, а энергия электрического поля конденсатора
Если теперь генератор отключить, а конденсатор замкнуть на катушку с индуктивностью L, то начнется его разрядка и в катушке возникает ток. Этот возрастающий от нуля ток приводит к возникновению магнитного поля. Следовательно, энергия электрического поля между обкладками конденсатора постепенно переходит в энергию магнитного поля катушки. В момент полной разрядки конденсатора ток в катушке достигает максимального значения I0 и энергия магнитного поля
В момент полной разрядки конденсатора ток в катушке, казалось бы, должен прекратиться. Однако уменьшению тока в катушке препятствует явление самоиндукции, поддерживающее ток в прежнем направлении. Этот убывающий от максимального значения I0 ток продолжает переносить заряды от одной обкладки конденсатора к другой в том же направлении и перезаряжает конденсатор. Перезарядка заканчивается, когда ток становится равным нулю. В этот момент энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора. В следующий момент начинает разряжаться конденсатор, а ток потечет в противоположном направлении. Ток разряда конденсатора возрастает, пока конденсатор не разрядится полностью, а затем убывает, но вследствие явления самоиндукции снова перезаряжается конденсатор и контур возвращается в исходное состояние. На этом завершается один период колебаний в контуре.
Взаимное превращение энергии электрического и магнитного полей сопровождается потерями (диссипацией) энергии на нагревание проводников. И если энергия не пополняется извне, то колебания в контуре затухают – амплитуда колеблющихся величин (заряд на обкладках конденсатора, напряжение, ток) каждого последующего цикла колебаний меньше предыдущего. Чем больше омическое сопротивление контура, тем быстрее затухают колебания в нем. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.
Система называется линейной, если характеризующие данную систему в рассматриваемом процессе параметры не изменяются. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. Электрический контур можно считать линейной системой, если его сопротивление R, электроемкость C и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.
Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие колебания линейной системы – электрического колебательного контура. Для этого воспользуемся законом Ома и вытекающим из него вторым правилом Кирхгофа, которые справедливы для цепей постоянного и квазипостоянного токов. В данном случае в цепи протекает переменный ток, но, учитывая, что размеры контура l не слишком велики (т.е. l < c/n, где с – скорость света, с которой распространяются электромагнитные колебания; l – длина контура; n – частота колебаний), то можно считать, что мгновенное значение тока будет практически одинаково во всех точках контура. Удовлетворяющие такому условию токи называются квазистационарными. Тогда, согласно второму правилу Кирхгофа для RLC-контура, в котором протекают квазистационарные токи, можно записать
UL + UR + UC= 0, (2.5.1)
где UL – падение напряжения на индуктивности, UС – падение напряжения на емкости, UR – падение напряжения на резисторе, или
(2.5.2)
Учитывая, что I = dq/dt и разделив (2.5.2) на L, получим следующее уравнение:
(2.5.3)
Так как величина заряда на обкладках конденсатора пропорциональна разности потенциалов на них (q = CU), то уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе, будет аналогично предыдущему уравнению, т.е.
(2.5.4)
Введя обозначения , , получим
(2.5.5)
где δ – коэффициент затухания, ω0 – частота собственных незатухающих колебаний контура. Уравнение (2.5.5) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и описывает свободные затухающие колебания.
При условии δ < ω0 решение уравнения (2.5.5) имеет вид
(2.5.6)
где φ – начальная фаза, ω – частота свободных затухающих колебаний, Um(t) – амплитуда затухающих колебаний.
(2.5.7)
(2.5.8)
где U0 – значение напряжения при t = 0.
Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени тем быстрее, чем больше коэффициент затухания δ. Для φ = 0 график зависимости (2.5.6) изображен сплошной линией, а зависимости (2.5.8) – пунктирной.
Затухающие колебания не являются периодическими, т.к. максимальное значение колеблющейся величины U1, достигаемое в некоторый момент времени t1, в последующем при t > t1 никогда не повторяется. Однако, при затухающих колебаниях какой-либо величины, она обращается в нуль, достигает максимальных и минимальных значений через равные промежутки времени
(2.5.9)
Величины T и ω называют условно периодом (условным периодом) и циклической частотой (условной частотой) затухающих колебаний.
Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз (e = 2.718…), называется временем релаксации. Введение понятия времени релаксации позволяет уточнить физический смысл коэффициента затухания:
(2.5.10)
Это позволяет определять коэффициент затухания как величину, обратную промежутку времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента.
Логарифмический декремент затухания показывает в логарифмических единицах, во сколько раз убывает амплитуда колебаний за один период. Это безразмерная величина Θ, равная натуральному логарифму отношения значений амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период:
(2.5.11)
где N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.
Следовательно, логарифмический декремент есть величина, обратная числу колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e раз.
Если в формулу (2.5.11) подставить значение для и , то
(2.5.12)
Согласно (2.5.7), частота определяется параметрами контура (R, L, C), следовательно, можно утверждать, что логарифмический декремент является характеристикой контура, т.к. его величина определяется только параметрами контура.
Колебательный контур также характеризуют добротностью, безразмерной величиной Q, пропорциональной отношению энергии W(t) колебаний контура в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за интервал времени равный периоду
(2.5.13)
Т.к. энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний A(t), то
При слабом затухании (δ << ω0) 1 – e–2δT ≈ 2δT ≈ 2Θ,
Q ≈ π/Θ ≈ πN. (2.5.14)
Из (2.5.14) можно видеть, что добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых за промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
В случае слабого затухания, когда Θ < 1, ω = ω0, величина добротности определяется параметрами колебательного контура и равна
(2.5.15)
При увеличении коэффициента затухания условный период T затухающих колебаний возрастает и обращается в бесконечность при ω0 = δ. При этих условиях свободных колебаний в контуре не происходит, а колеблющаяся величина асимптотически стремится к нулю при t → ∞. Такой процесс называется апериодическим. Сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим Rкр и определяется из условия
(2.5.16)
Очевидно, что при R < Rкр – процесс колебательный, при R ≥ Rкр – процесс апериодический.
Схема установки представлена на рисунке. Колебания в контуре возбуждаются с помощью генератора импульсного напряжения. Схема смонтирована на съемной панели лабораторного макета. В качестве резистора в RP1 в колебательном контуре используется переменное сопротивление, максимальное значение которого находится в зависимости от номера съемной панели (470 Ом, 680 Ом и др.) и устанавливается поворотом ручки потенциометра по часовой стрелке в крайнее положение. При повороте ручки против часовой стрелки в крайнее положение значение сопротивления RP1 = 0. В этом случае активное сопротивление колебательного контура складывается из сопротивления соединительных проводов контура и активного сопротивления катушки индуктивности, R = RX. В дальнейшем это сопротивление необходимо рассчитать по результатам измерений.