Динамика материальной точки (стр. 2 из 4)

,

где

радиус кривизны траектории; единичный вектор, направленный по нормали к траектории.

Импульс

1. Импульс материальной точки

,

где

– скорость материальной точки.

2. Импульс системы материальных точек

,

где

– масса -ой частицы, – её скорость в инерциальной системе отсчета.

Второй закон Ньютона

1.

,

где

геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; – её импульс; – число сил, действующих на точку.

2. Если масса постоянна, то второй закон Ньютона классической механики может быть выражен формулой

.

3. Если не известен точный закон, по которому изменяется полная сила

,

действующая на тело, то можно использовать понятие средней силы

за какой-то промежуток времени от момента до :

.

Тогда уравнение второго закона Ньютона можно записать в виде

,

где

- изменение импульса за тот же промежуток времени; иногда произведение называют средним импульсом силы.

4. Второй закон Ньютона в координатной (скалярной) форме

, , ,

или

, ,

,

где под знаком суммы стоят проекции сил

на соответствующие оси координат.

Третий закон Ньютона

,

где

– сила, действующая на i-ую материальную точку со стороны k-ой материальной точки; – сила, действующая на k-ую материальную точку со стороны i-ой материальной точки. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, приложены к разным материальным точкам, противоположно направлены, всегда действуют парами и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

2. Классификация задач и рекомендации по методам их решения

Задачи на динамику прямолинейного движения материальной точки, исходя из методики их решения, можно разбить на следующие основные типы.

1) Все силы

, действующие на тело совпадают с прямой, вдоль которой направлен вектор ускорения. В этом случае уравнение второго закона Ньютона в векторном виде и решение в скалярной форме проводится с учетом направления сил.

2) Если действующие на тело силы разнонаправлены (а тем более некоторые из них не совпадают по направлению с

, например, движение тела по наклонной плоскости):

· выбрать две произвольные оси ОХ и OY (для упрощения решения желательно одну из них направить вдоль вектора ускорения);

· спроецировать все действующие силы на оси ОХ и OY;

· записать второй закон Ньютона соответственно для осей ОХ:

OY:

;

· решить систему уравнений совместно (при необходимости дополнить соответствующими кинематическими уравнениями движения).

3) Движение нескольких сил, связанных невесомыми и нерастяжимыми нитями (движение нескольких тел по горизонтальной и наклонной плоскостях; задачи на блоки, через которые перекинута нить - веревка, канат, шнур и т.д.).

Основные закономерности при решении задач на блоки можно сформулировать следующим образом:

· блок считать невесомым (или его массой можно пренебречь);

· нити между телами считать невесомыми и нерастяжимыми;

· силы натяжения нити по обе стороны блока одинаковы;

· второй закон Ньютона записывать для каждого тела в отдельности (с учетом выбранного направления движения системы тел);

· если нить перекинута, например, через 2 невесомых блока (один – подвижный, второй – неподвижный), сила натяжения нити будет по всей длине одинакова, но ускорение грузов вследствие движения подвижного блока разные.

3. Примеры решения типовых задач

Пример 1

Аэростат массой m

250 кг начал опускаться с ускорением 0,2м/с². Определить массу балласта, который следует сбросить, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Ускорение свободного падения 9,8 м/с². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

250 кг;

0,2м/с²;

9,8 м/с².

^{_______________}

m ?

Рис. 2.1.

Решение: Так как аэростат опускается с ускорением

, меньшим ускорения свободного падения , и по условию задачи сопротивление воздуха отсутствует, то это означает, что на него кроме силы тяжести действует подъемная сила , направленная вертикально вверх.

Действующие на аэростат силы направлены вертикально, следовательно, уравнение движения

(1)

достаточно спроецировать только на одну ось системы координат

OY:

. (2)

Откуда подъемная сила

. (3)

Если сбросить балласт массой

, то уравнение движения можно записать в виде

, (4)

или с учетом полученного выражения для подъемной силы

(3)

(5)