Метод поступового нарощення складності у розв язку задач на знаходження моментів інерції
В багатьох задачах динаміки не можна розглядати тіло як матеріальну точку за причини наявності обертального руху цього тіла. Розгляданням таких задач займається динаміка твердого тіла. Як відомо, рух твердого тіла описується парою динамічних рівнянь поступального та обертального руху: ІІ законом Ньютона та основним рівнянням динаміки обертального руху:
1)
Важливою характеристикою тіла при його поступальному русі є маса цього тіла. Якщо ж розглядати його обертальний рух, то крім маси важливу роль відіграє форма тіла та його положення відносно осі обертання. Загальною характеристикою тіла при його обертальному русі є коефіцієнт пропорційності у формулі – момент інерції тіла. Розв’язок задач на динаміку твердого тіла має на увазі змогу знаходження моменту інерції цього тіла відносно тієї чи іншої вісі обертання.
Моментом інерції тіла відносно певної осі обертання за означенням є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней до цієї осі:
Зазвичай тіла розглядають як систему з неперервним розподілом маси. У цьому випадку у формулі треба перейти від сумування до інтегрування по всій масі тіла:
Масу
можна виразити через функцію розподілу маси 
:
У випадку рівномірного розподілу формула спрощується:
Де
- маса, 
- об’єм всього тіла, 
- його об’ємна густина. В ряді задач масу можна вважати розподіленою по поверхні чи по лінії. Тоді якщо можливо вибрати таку систему координат, щоб вздовж певних осей не відбувалося зміни маси, то об’ємну густину
можна виразити відповідно через поверхневу 
чи лінійну 
за допомогою 
-функції. В разі обрання декартової системи координат для випадків плоского та лінійного розподілу маси дійсні такі представлення:
Підставляючи отримані вирази у формулу , представляючи
й інтегруючи, отримаємо:
Або у випадку рівномірного розподілу:
Таким чином знаходження моменту інерції зводиться до представлення маси через щільність розподілу й інтегрування виразу . В деяких випадках вже відоме значення моменту інерції тіла відносно вісі, яка проходить через його центр мас. Тоді для знаходження моменту інерції відносно шуканої вісі зручно скористатися теоремою Штейнера:
Де
– момент інерції відносно обраної осі; 
– момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас та паралельна обраній; ОС – відстань між цими осями. Окрім поняття моменту інерції відносно вісі, існує поняття моменту інерції відносно точки. Хоча момент інерції відносно точки сам по собі не відіграє ніякої ролі в динаміці, з його допомогою часто можливо значно спростити обчислення моментів інерції відносно вісі (див. 3). За означенням моментом інерції тіла відносно точки є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней доцієї точки:
У випадку неперервного розподілу маси в виразі необхідно перейти від сумування до інтегрування:
Крім того, сума моментів інерції тіла відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, дорівнює його подвійному моменту інерції відносно цієї точки:
У випадку плоского розподілу маси можна вибрати систему координат так, щоб
. Тоді вираз набуде вигляду:
В даній роботі розглянута методика розв’язку задач на знаходження моменту інерції. Отримані розв’язки можуть бути використані при знаходженні моментів інерції більш складних, нерозглянутих в цій роботі фігур. Класифікуємо задачі даної теми згідно наростанню їх складності та комплексності рішення:
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії.
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині.
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму.
В загальному випадку для розв’язку задач з розглядаємої теми пропонуємо використовувати таку послідовність дій:
Проаналізувати фігуру, момент інерції якої треба знайти, з метою обрання нескінченно малої області цієї фігури, яка відображає її симетрію, й момент інерції якої відомий.
Виразити масу обраного елементу через густину розподілу.
Проінтегрувати момент інерції нескінченно малої області по всій фігурі для знаходження шуканого моменту інерції.
При аналізі фігури в першому пункті слід звертати увагу на можливість простішого розв’язку задачі за допомогою теореми Штейнера, чи за допомогою обчислення моменту інерції відносно точки.
Розглянемо деякі найбільш демонстративні приклади знаходження моменту інерції. Для простоти викладення будемо вважати, що маса розподілена рівномірно.
І Для знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії скористаємося розв’язком найпростішої задачі – знаходження моменту інерції точки. Розглянемо тонкий стержень довжини
та тонке кільця радіуса 
. Визначити момент інерції тонкого стержня маси
та довжини відносно осі, що проходить А) через один з його кінців; Б) через центр мас. Розв’язок:
А) 1. Розглянемо елемент стержня безмежно малої довжини
(рис. 1). З огляду малості цей елемент можна розглядати як точковий з масою відповідно. За означенням момент інерції 
елементу , що знаходиться на відстані 
від осі обертання, дорівнює:
2. Для визначення маси
скористаємося формулою - зв’язку маси з лінійною густиною стержня . Вираз набуде вигляду:
3. Оскільки маса в стержні розподілена неперервно, то момент інерції всього стержня отримується інтегруванням по всіх його точках рівності:
Б) Обираючи систему координат з початком відліку у центрі стержня можна повторити розсуд й отримати значення моменту інерції
відносно осі, що проходить через центр мас. При цьому різниця буде лише в формулі: інтегрування буде відбуватися від 
до 
. Отже 
. З іншого боку момент інерції
можна визначити за теоремою Штейнера, спираючись на отримане значення моменту інерції в формулі:
Визначити момент інерції тонкого однорідного кільця маси
і радіусу відносно осі: А) що проходить через центр кільця, й перпендикулярна площині, якій належить кільце; Б) лежить у цій площині. Розв’язок:
А) Розглядаючи перший випадок перейдемо до полярної системи координат (рис. 2). 1. Виділимо безмежно малий елемент кільця масою
з координатами 
. Момент інерції 
цього елемента дорівнює:
2. У випадку лінійного розподілу можливо виразити масу через кутову густину2):
. 3. Інтегруючи по всьому кільцю, отримуємо:
Б) Для розв’язання задачі у випадку коли вісь належить площині проведеній через кільце, помітимо, що з огляду симетрії момент інерції відносно цієї осі буде дорівнювати моментам інерції відносно декартових координатних осей OX і OY. Причому
. Оскільки маса розподілена у площині, має місце співвідношення, яке для розглядаємого випадку можна записати у вигляді:
Отже, використовуючи отриманий розв’язок , знайдемо:
ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині є більш комплексною задачею, ніж для лінійного розподілу. Задача набагато спрощується, якщо скористатися вже отриманими формулами , , і . Розглянемо низку задач, найбільш характерних для цього класу.
Знайти моменти інерції тонкої квадратної пластинки маси
зі стороною , відносно координатних осей OX, OY та OZ (рис. 3). Розв’язок:
З огляду симетрії моменти інерції відносно осей OX та OY однакові. Маса як і у попередній задачі розподілена у площині, отже враховуючи рівність маємо:
Тобто достатньо знайти момент інерції відносно будь-якої вісі, інші ж виразяться з рівняння зв’язку. Зручно знайти момент інерції відносно вісі OX чи OY. Виберемо, наприклад, вісь ОY.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого стержня нескінченно малої товщини
, який знаходиться на відстані від лінії, що проходить через центр мас пластинки. Тоді момент інерції цього елементу, визначимо за теоремою Штейнера:
Тут ми скористалися отриманим розв’язком для стержня. Відмінним є те, що для пластинки маса не зосереджена в стержнях нескінченно малої товщини, а рівномірно розподілена по всій поверхні цієї плоскої фігури. Тому в формулі маса буде дорівнювати
. 2. Згідно рівностям та масу
можна виразити через поверхневу густину . Для цього зазначимо, що повна площа пластинки 
, а її елемент 
. Отже:
3. Значення для моменту інерції всієї пластинки отримується шляхом інтегрування рівності по всій її поверхні:
Того ж самого значення набуде і
. Для 
з рівності маємо:
Визначити моменти інерції тонкої круглої пластинки маси
та радіусу відносно декартових координатних осей (рис. 4). Розв’язок:
Як і у попередній задачі тут працює рівняння зв’язку. Отже для зручності будемо знаходити момент інерції відносно осі OZ.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого кільця радіуса
. Момент інерції цього кільця згідно дорівнює:
Згідно рівностям та масу
можна виразити через поверхневу густину 
. Оскільки площа вибраного кільця 
, маємо:
Підставляючи отримане значення маси у рівність, й інтегруючи його по всіх можливих радіусах кілець, отримуємо:
З рівняння зв’язку знаходимо:
ІІІ Перейдемо до розгляду найбільш загального класу задач на знаходження моментів інерції, - знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму.
Визначити момент інерції кулі маси
та радіусу відносно осі, що проходить через її центр. Розв’язок:
В даному випадку зручно для початку знайти момент інерції сфери з тими ж параметрами. З огляду симетрії шуканий момент інерції буде співпадати з кожним із значень моменту інерції відносно декартових осей координат
. Але сума останніх за рівнянням зв’язку дорівнює подвоєному моменту інерції 
сфери відносно точки центра сфери, який згідно виразу дорівнює:
Отже моменти інерції відносно координатних осей будуть рівні двом третім
:
Перейдемо до знаходження моменту інерції самої кулі.
1. Для цього виділимо її елемент у вигляді тонкостінної сфери радіуса
та товщини 
(рис. 5). Момент інерції цієї сфери відносно будь-якої осі, що проходить через її центр, а отже і через центр кулі, згідно дорівнює:
2. Згідно рівностям і масу
виразимо через густину кулі 
. Маючи на увазі, що об’єм виділеної сфери 
, запишемо:
3. Підставляючи отримане значення маси у рівність, й інтегруючи його по всіх можливих радіусах сфер, матимемо:
Знайти моменти інерції суцільного циліндра маси
, висотою та радіусом основи А) Відносно вісі 
; Б) осей 
. (рис. 6) Розв’язок:
А) Виділимо елемент циліндру
у вигляді нескінченно тонкого диску товщиною 
. Момент інерції цього диску відносно осі OZ за формулою дорівнює:
Інтегруючі по всьому циліндру отримуємо:
Б) Моменти інерції обраного нескінченно малого диску як і моменти інерції всього циліндру відносно осей OX та OY з огляду симетрії будуть рівні:
; . Застосуємо теорему Штейнера до диску відносно осі OX. Враховуючи формулу отримуємо:
Згідно рівностям і виразимо масу
через густину циліндру 
:
Підставимо отриманий вираз для елементу маси
у рівність для знаходження 
, а отже й , і проінтегруємо по всій довжині циліндра:
Помітимо, що при
формула переходить в формулу . Якщо перемістити початок координат у центр мас, то змінюючи границі інтегрування у виразі або за теоремою Штейнера отримаємо:
Відповідного значення набуде й
. Висновки Визначення моментів інерції тіл є необхідною складовою розв’язку задач динаміки твердого тіла. В даній роботі був продемонстрований метод знаходження моментів інерції різних фігур методом поетапного формування складності та проблемності. Даний метод дозволяє не тільки легко розв’язувати задачі, а й сприяє засвоєнню в учнів підходу до них. Дійсно, якщо поступово переходити до кожного класу задач на розглянуту тему, можна простежити чітку схему розв’язку, наведену у вигляді рекомендованої вище послідовності. Для успішного розв’язку задач слід дотримуватися наведених опорних пунктів. Однак не треба забувати й про можливі рівняння зв’язку, які суттєво спрощують задачу.
Отже, фактично діє одна й та сама схема, яка має на увазі відомість отриманих розв’язків менш складних задач. В загальному випадку, коли, наприклад, невідомі значення моментів інерції менш складних фігур внаслідок чи то нерівномірного розподілу маси в них, чи ще за якихось причин, задачу треба розбити на більш простіші, й вирішувати їх поступово, додержуючись наведеної схеми. Такий спосіб приведе до одержання кінцевого результату.
Дія за однією схемою в наростаючому рівні складності задач сприяє закріпленню знань з даної теми, поступово навантажує студентів. Вироблює в них чітке представлення підходу до розв’язку, сприяє комплексності мислення.
Наведений метод розв’язку задач з переходом від простого до складнішого дозволяє вирішувати й багато задач іншого роду. Такими є зокрема задачі на знаходження вектора напруженості електричного поля, вектора магнітної індукції, тощо.
р
ис. 1
рис. 2
рис. 3
рис. 4
рис. 5
рис. 6
1) Для найбільш поширеного випадку задач, в яких розглядається обертання незмінного твердого тіла навколо нерухомої вісі. Тобто для випадку I=const
2) В даному випадку можна одразу інтегрувати по всій масі кільця, але з методичних міркувань автори показують більш загальний підхід.
В багатьох задачах динаміки не можна розглядати тіло як матеріальну точку за причини наявності обертального руху цього тіла. Розгляданням таких задач займається динаміка твердого тіла. Як відомо, рух твердого тіла описується парою динамічних рівнянь поступального та обертального руху: ІІ законом Ньютона та основним рівнянням динаміки обертального руху:
1)
Важливою характеристикою тіла при його поступальному русі є маса цього тіла. Якщо ж розглядати його обертальний рух, то крім маси важливу роль відіграє форма тіла та його положення відносно осі обертання. Загальною характеристикою тіла при його обертальному русі є коефіцієнт пропорційності у формулі – момент інерції тіла. Розв’язок задач на динаміку твердого тіла має на увазі змогу знаходження моменту інерції цього тіла відносно тієї чи іншої вісі обертання.
Моментом інерції тіла відносно певної осі обертання за означенням є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней до цієї осі:
Зазвичай тіла розглядають як систему з неперервним розподілом маси. У цьому випадку у формулі треба перейти від сумування до інтегрування по всій масі тіла:
Масу
можна виразити через функцію розподілу маси :
У випадку рівномірного розподілу формула спрощується:
Де
- маса, - об’єм всього тіла, - його об’ємна густина. В ряді задач масу можна вважати розподіленою по поверхні чи по лінії. Тоді якщо можливо вибрати таку систему координат, щоб вздовж певних осей не відбувалося зміни маси, то об’ємну густину
можна виразити відповідно через поверхневу чи лінійну за допомогою -функції. В разі обрання декартової системи координат для випадків плоского та лінійного розподілу маси дійсні такі представлення:
Підставляючи отримані вирази у формулу , представляючи
й інтегруючи, отримаємо:
Або у випадку рівномірного розподілу:
Таким чином знаходження моменту інерції зводиться до представлення маси через щільність розподілу й інтегрування виразу . В деяких випадках вже відоме значення моменту інерції тіла відносно вісі, яка проходить через його центр мас. Тоді для знаходження моменту інерції відносно шуканої вісі зручно скористатися теоремою Штейнера:
Де
– момент інерції відносно обраної осі; – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас та паралельна обраній; ОС – відстань між цими осями. Окрім поняття моменту інерції відносно вісі, існує поняття моменту інерції відносно точки. Хоча момент інерції відносно точки сам по собі не відіграє ніякої ролі в динаміці, з його допомогою часто можливо значно спростити обчислення моментів інерції відносно вісі (див. 3). За означенням моментом інерції тіла відносно точки є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней доцієї точки:
У випадку неперервного розподілу маси в виразі необхідно перейти від сумування до інтегрування:
Крім того, сума моментів інерції тіла відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, дорівнює його подвійному моменту інерції відносно цієї точки:
У випадку плоского розподілу маси можна вибрати систему координат так, щоб
. Тоді вираз набуде вигляду:
В даній роботі розглянута методика розв’язку задач на знаходження моменту інерції. Отримані розв’язки можуть бути використані при знаходженні моментів інерції більш складних, нерозглянутих в цій роботі фігур. Класифікуємо задачі даної теми згідно наростанню їх складності та комплексності рішення:
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії.
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині.
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму.
В загальному випадку для розв’язку задач з розглядаємої теми пропонуємо використовувати таку послідовність дій:
Проаналізувати фігуру, момент інерції якої треба знайти, з метою обрання нескінченно малої області цієї фігури, яка відображає її симетрію, й момент інерції якої відомий.
Виразити масу обраного елементу через густину розподілу.
Проінтегрувати момент інерції нескінченно малої області по всій фігурі для знаходження шуканого моменту інерції.
При аналізі фігури в першому пункті слід звертати увагу на можливість простішого розв’язку задачі за допомогою теореми Штейнера, чи за допомогою обчислення моменту інерції відносно точки.
Розглянемо деякі найбільш демонстративні приклади знаходження моменту інерції. Для простоти викладення будемо вважати, що маса розподілена рівномірно.
І Для знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії скористаємося розв’язком найпростішої задачі – знаходження моменту інерції точки. Розглянемо тонкий стержень довжини
та тонке кільця радіуса . Визначити момент інерції тонкого стержня маси
та довжини відносно осі, що проходить А) через один з його кінців; Б) через центр мас. Розв’язок:
А) 1. Розглянемо елемент стержня безмежно малої довжини
(рис. 1). З огляду малості цей елемент можна розглядати як точковий з масою відповідно. За означенням момент інерції елементу , що знаходиться на відстані від осі обертання, дорівнює:
2. Для визначення маси
скористаємося формулою - зв’язку маси з лінійною густиною стержня . Вираз набуде вигляду:
3. Оскільки маса в стержні розподілена неперервно, то момент інерції всього стержня отримується інтегруванням по всіх його точках рівності:
Б) Обираючи систему координат з початком відліку у центрі стержня можна повторити розсуд й отримати значення моменту інерції
відносно осі, що проходить через центр мас. При цьому різниця буде лише в формулі: інтегрування буде відбуватися від до . Отже . З іншого боку момент інерції
можна визначити за теоремою Штейнера, спираючись на отримане значення моменту інерції в формулі:
Визначити момент інерції тонкого однорідного кільця маси
і радіусу відносно осі: А) що проходить через центр кільця, й перпендикулярна площині, якій належить кільце; Б) лежить у цій площині. Розв’язок:
А) Розглядаючи перший випадок перейдемо до полярної системи координат (рис. 2). 1. Виділимо безмежно малий елемент кільця масою
з координатами . Момент інерції цього елемента дорівнює:
2. У випадку лінійного розподілу можливо виразити масу через кутову густину2):
. 3. Інтегруючи по всьому кільцю, отримуємо:
Б) Для розв’язання задачі у випадку коли вісь належить площині проведеній через кільце, помітимо, що з огляду симетрії момент інерції відносно цієї осі буде дорівнювати моментам інерції відносно декартових координатних осей OX і OY. Причому
. Оскільки маса розподілена у площині, має місце співвідношення, яке для розглядаємого випадку можна записати у вигляді:
Отже, використовуючи отриманий розв’язок , знайдемо:
ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині є більш комплексною задачею, ніж для лінійного розподілу. Задача набагато спрощується, якщо скористатися вже отриманими формулами , , і . Розглянемо низку задач, найбільш характерних для цього класу.
Знайти моменти інерції тонкої квадратної пластинки маси
зі стороною , відносно координатних осей OX, OY та OZ (рис. 3). Розв’язок:
З огляду симетрії моменти інерції відносно осей OX та OY однакові. Маса як і у попередній задачі розподілена у площині, отже враховуючи рівність маємо:
Тобто достатньо знайти момент інерції відносно будь-якої вісі, інші ж виразяться з рівняння зв’язку. Зручно знайти момент інерції відносно вісі OX чи OY. Виберемо, наприклад, вісь ОY.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого стержня нескінченно малої товщини
, який знаходиться на відстані від лінії, що проходить через центр мас пластинки. Тоді момент інерції цього елементу, визначимо за теоремою Штейнера:
Тут ми скористалися отриманим розв’язком для стержня. Відмінним є те, що для пластинки маса не зосереджена в стержнях нескінченно малої товщини, а рівномірно розподілена по всій поверхні цієї плоскої фігури. Тому в формулі маса буде дорівнювати
. 2. Згідно рівностям та масу
можна виразити через поверхневу густину . Для цього зазначимо, що повна площа пластинки , а її елемент . Отже:
3. Значення для моменту інерції всієї пластинки отримується шляхом інтегрування рівності по всій її поверхні:
Того ж самого значення набуде і
. Для з рівності маємо:
Визначити моменти інерції тонкої круглої пластинки маси
та радіусу відносно декартових координатних осей (рис. 4). Розв’язок:
Як і у попередній задачі тут працює рівняння зв’язку. Отже для зручності будемо знаходити момент інерції відносно осі OZ.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого кільця радіуса
. Момент інерції цього кільця згідно дорівнює:
Згідно рівностям та масу
можна виразити через поверхневу густину . Оскільки площа вибраного кільця , маємо:
Підставляючи отримане значення маси у рівність, й інтегруючи його по всіх можливих радіусах кілець, отримуємо:
З рівняння зв’язку знаходимо:
ІІІ Перейдемо до розгляду найбільш загального класу задач на знаходження моментів інерції, - знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму.
Визначити момент інерції кулі маси
та радіусу відносно осі, що проходить через її центр. Розв’язок:
В даному випадку зручно для початку знайти момент інерції сфери з тими ж параметрами. З огляду симетрії шуканий момент інерції буде співпадати з кожним із значень моменту інерції відносно декартових осей координат
. Але сума останніх за рівнянням зв’язку дорівнює подвоєному моменту інерції сфери відносно точки центра сфери, який згідно виразу дорівнює:
Отже моменти інерції відносно координатних осей будуть рівні двом третім
:
Перейдемо до знаходження моменту інерції самої кулі.
1. Для цього виділимо її елемент у вигляді тонкостінної сфери радіуса
та товщини (рис. 5). Момент інерції цієї сфери відносно будь-якої осі, що проходить через її центр, а отже і через центр кулі, згідно дорівнює:
2. Згідно рівностям і масу
виразимо через густину кулі . Маючи на увазі, що об’єм виділеної сфери , запишемо:
3. Підставляючи отримане значення маси у рівність, й інтегруючи його по всіх можливих радіусах сфер, матимемо:
Знайти моменти інерції суцільного циліндра маси
, висотою та радіусом основи А) Відносно вісі ; Б) осей . (рис. 6) Розв’язок:
А) Виділимо елемент циліндру
у вигляді нескінченно тонкого диску товщиною . Момент інерції цього диску відносно осі OZ за формулою дорівнює:
Інтегруючі по всьому циліндру отримуємо:
Б) Моменти інерції обраного нескінченно малого диску як і моменти інерції всього циліндру відносно осей OX та OY з огляду симетрії будуть рівні:
; . Застосуємо теорему Штейнера до диску відносно осі OX. Враховуючи формулу отримуємо:
Згідно рівностям і виразимо масу
через густину циліндру :
Підставимо отриманий вираз для елементу маси
у рівність для знаходження , а отже й , і проінтегруємо по всій довжині циліндра:
Помітимо, що при
формула переходить в формулу . Якщо перемістити початок координат у центр мас, то змінюючи границі інтегрування у виразі або за теоремою Штейнера отримаємо:
Відповідного значення набуде й
. Висновки Визначення моментів інерції тіл є необхідною складовою розв’язку задач динаміки твердого тіла. В даній роботі був продемонстрований метод знаходження моментів інерції різних фігур методом поетапного формування складності та проблемності. Даний метод дозволяє не тільки легко розв’язувати задачі, а й сприяє засвоєнню в учнів підходу до них. Дійсно, якщо поступово переходити до кожного класу задач на розглянуту тему, можна простежити чітку схему розв’язку, наведену у вигляді рекомендованої вище послідовності. Для успішного розв’язку задач слід дотримуватися наведених опорних пунктів. Однак не треба забувати й про можливі рівняння зв’язку, які суттєво спрощують задачу.
Отже, фактично діє одна й та сама схема, яка має на увазі відомість отриманих розв’язків менш складних задач. В загальному випадку, коли, наприклад, невідомі значення моментів інерції менш складних фігур внаслідок чи то нерівномірного розподілу маси в них, чи ще за якихось причин, задачу треба розбити на більш простіші, й вирішувати їх поступово, додержуючись наведеної схеми. Такий спосіб приведе до одержання кінцевого результату.
Дія за однією схемою в наростаючому рівні складності задач сприяє закріпленню знань з даної теми, поступово навантажує студентів. Вироблює в них чітке представлення підходу до розв’язку, сприяє комплексності мислення.
Наведений метод розв’язку задач з переходом від простого до складнішого дозволяє вирішувати й багато задач іншого роду. Такими є зокрема задачі на знаходження вектора напруженості електричного поля, вектора магнітної індукції, тощо.
ЛІТЕРАТУРА:Е.М. Новодворская, Э.М. Дмитриев «Методика проведения упражнений по физике во втузе» - М. «Высшая школа» 1981 г. – 318 с.
И.Е. Иродов «Основные законы механики» - М. «Высшая школа» 1985 г. – 248с.
Д.В. Сивухин «Механика» - М. «Наука» 1989 г. – 576 с.
р
ис. 1
рис. 2
рис. 3
рис. 4
рис. 5
рис. 6
1) Для найбільш поширеного випадку задач, в яких розглядається обертання незмінного твердого тіла навколо нерухомої вісі. Тобто для випадку I=const
2) В даному випадку можна одразу інтегрувати по всій масі кільця, але з методичних міркувань автори показують більш загальний підхід.
9
Зміст
Вступ
В багатьох задачах динаміки не можна розглядати тіло як матеріальну точку за причини наявності обертального руху цього тіла. Розгляданням таких задач займається динаміка твердого тіла. Як відомо, рух твердого тіла описується парою динамічних рівнянь поступального та обертального руху: ІІ законом Ньютона та основним рівнянням динаміки обертального руху:
1)
Важливою характеристикою тіла при його поступальному русі є маса цього тіла. Якщо ж розглядати його обертальний рух, то крім маси важливу роль відіграє форма тіла та його положення відносно осі обертання. Загальною характеристикою тіла при його обертальному русі є коефіцієнт пропорційності у формулі – момент інерції тіла. Розв’язок задач на динаміку твердого тіла має на увазі змогу знаходження моменту інерції цього тіла відносно тієї чи іншої вісі обертання.
Моментом інерції тіла відносно певної осі обертання за означенням є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней до цієї осі:
Зазвичай тіла розглядають як систему з неперервним розподілом маси. У цьому випадку у формулі треба перейти від сумування до інтегрування по всій масі тіла:
Масу
можна виразити через функцію розподілу маси :
У випадку рівномірного розподілу формула спрощується:
Де
- маса, - об’єм всього тіла, - його об’ємна густина. В ряді задач масу можна вважати розподіленою по поверхні чи по лінії. Тоді якщо можливо вибрати таку систему координат, щоб вздовж певних осей не відбувалося зміни маси, то об’ємну густину
можна виразити відповідно через поверхневу чи лінійну за допомогою -функції. В разі обрання декартової системи координат для випадків плоского та лінійного розподілу маси дійсні такі представлення:
Підставляючи отримані вирази у формулу , представляючи
й інтегруючи, отримаємо:
Або у випадку рівномірного розподілу:
Таким чином знаходження моменту інерції зводиться до представлення маси через щільність розподілу й інтегрування виразу. В деяких випадках вже відоме значення моменту інерції тіла відносно вісі, яка проходить через його центр мас. Тоді для знаходження моменту інерції відносно шуканої вісі зручно скористатися теоремою Штейнера:
Де
– момент інерції відносно обраної осі; – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас та паралельна обраній; ОС – відстань між цими осями. Окрім поняття моменту інерції відносно вісі, існує поняття моменту інерції відносно точки. Хоча момент інерції відносно точки сам по собі не відіграє ніякої ролі в динаміці, з його допомогою часто можливо значно спростити обчислення моментів інерції відносно вісі (див. Приклад 3.1.). За означенням моментом інерції тіла відносно точки є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней доцієї точки:
У випадку неперервного розподілу маси в виразі необхідно перейти від сумування до інтегрування:
Крім того, що сума моментів інерції тіла відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, дорівнює його подвійному моменту інерції відносно цієї точки [3]:
У випадку плоского розподілу маси можна вибрати систему координат так, щоб
. Тоді вираз набуде вигляду:
В даній роботі розглянута методика розв’язку задач на знаходження моменту інерції. Отримані розв’язки можуть бути використані при знаходженні моментів інерції більш складних, нерозглянутих в цій роботі фігур. Класифікуємо задачі даної теми згідно наростанню їх складності та комплексності рішення:
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії.
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині.
Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму.
В загальному випадку для розв’язку задач з розглядаємої теми пропонуємо використовувати таку послідовність дій:
Проаналізувати фігуру, момент інерції якої треба знайти, з метою обрання нескінченно малої області цієї фігури, яка відображає її симетрію, й момент інерції якої відомий.
Виразити масу обраного елементу через густину розподілу.
Проінтегрувати момент інерції нескінченно малої області по всій фігурі для знаходження шуканого моменту інерції.
При аналізі фігури в першому пункті слід звертати увагу на можливість простішого розв’язку задачі за допомогою теореми Штейнера, чи за допомогою обчислення моменту інерції відносно точки.
Розглянемо деякі найбільш демонстративні приклади знаходження моменту інерції. Для простоти викладення будемо вважати, що маса розподілена рівномірно.
Основна частинаІ Для знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії скористаємося розв’язком найпростішої задачі – знаходження моменту інерції точки. Розглянемо тонкий стержень довжини
та тонке кільця радіуса . Визначити момент інерції тонкого стержня маси
та довжини відносно осі, що проходить А) через один з його кінців; Б) через центр мас.
Х
Р 
озв’язок:
Рис. 1
А) 1. Розглянемо елемент стержня безмежно малої довжини (Рис. 1). З огляду малості цей елемент можна розглядати як точковий з масою відповідно. За означенням момент інерції елементу , що знаходиться на відстані від осі обертання, дорівнює:
2. Для визначення маси
скористаємося формулою - зв’язку маси з лінійною густиною стержня . Вираз набуде вигляду:
3. Оскільки маса в стержні розподілена неперервно, то момент інерції всього стержня отримується інтегруванням по всіх його точках рівності:
Б) Обираючи систему координат з початком відліку у центрі стержня можна повторити розсуд й отримати значення моменту інерції
відносно осі, що проходить через центр мас. При цьому різниця буде лише в формулі: інтегрування буде відбуватися від до . Отже . З іншого боку момент інерції
можна визначити за теоремою Штейнера, спираючись на отримане значення моменту інерції в формулі:
Визначити момент інерції тонкого однорідного кільця маси
і радіусу відносно осі: А) що проходить через центр кільця, й перпендикулярна площині, якій належить кільце; Б) лежить у цій площині. Розв’язок:
А) Розглядаючи перший випадок перейдемо до полярної системи координат (Рис. 2). 1. Виділимо безмежно малий елемент кільця масою
з координатами . Момент інерції цього елемента дорівнює:
2. У випадку лінійного розподілу можливо виразити масу через кутову густину2):
. 3. Інтегруючи по всьому кільцю, отримуємо:
Рис. 2
Б) Для розв’язання задачі у випадку коли вісь належить площині проведеній через кільце, помітимо, що з огляду симетрії момент інерції відносно цієї осі буде дорівнювати моментам інерції відносно декартових координатних осей OX і OY. Причому . Оскільки маса розподілена у площині, має місце співвідношення, яке для розглядаємого випадку можна записати у вигляді:
Отже, використовуючи отриманий розв’язок , знайдемо:
ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині є більш комплексною задачею, ніж для лінійного розподілу. Задача набагато спрощується, якщо скористатися вже отриманими формулами , , і . Розглянемо низку задач, найбільш характерних для цього класу.
Знайти моменти інерції тонкої квадратної пластинки маси
зі стороною , відносно координатних осей OX, OY та OZ (Рис. 3). Р озв’язок:
З огляду симетрії моменти інерції відносно осей OX та OY однакові. Маса як і у попередній задачі розподілена у площині, отже враховуючи рівність маємо:
Рис. 3
Тобто достатньо знайти момент інерції відносно будь-якої вісі, інші ж виразяться з рівняння зв’язку. Зручно знайти момент інерції відносно вісі OX чи OY. Виберемо, наприклад, вісь ОY.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого стержня нескінченно малої товщини
, який знаходиться на відстані від лінії, що проходить через центр мас пластинки. Тоді момент інерції цього елементу, визначимо за теоремою Штейнера:
Тут ми скористалися отриманим розв’язком для стержня. Відмінним є те, що для пластинки маса не зосереджена в стержнях нескінченно малої товщини, а рівномірно розподілена по всій поверхні цієї плоскої фігури. Тому в формулі маса буде дорівнювати
. 2. Згідно рівностям та масу
можна виразити через поверхневу густину . Для цього зазначимо, що повна площа пластинки , а її елемент . Отже:
3. Значення для моменту інерції всієї пластинки отримується шляхом інтегрування рівності по всій її поверхні:
Того ж самого значення набуде і
. Для з рівності маємо:
Визначити моменти інерції тонкої круглої пластинки маси
та радіусу відносно декартових координатних осей (Рис. 4). Розв’язок:
Як і у попередній задачі тут працює рівняння зв’язку. Отже для зручності будемо знаходити момент інерції відносно осі OZ.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого кільця радіуса
. Момент інерції цього кільця згідно дорівнює:
Згідно рівностям та масу
можна виразити через поверхневу густину . Оскільки площа вибраного кільця , маємо:
Рис. 4
Підставляючи отримане значення маси у рівність, й інтегруючи його по всіх можливих радіусах кілець, отримуємо:
З рівняння зв’язку знаходимо:
ІІІ Перейдемо до розгляду найбільш загального класу задач на знаходження моментів інерції, - знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму. Проілюструємо підхід до рішення задач цього класу на наступних прикладах.
Визначити момент інерції кулі маси
та радіусу відносно осі, що проходить через її центр. Р озв’язок:
В даному випадку зручно для початку знайти момент інерції сфери з тими ж параметрами. З огляду симетрії шуканий момент інерції буде співпадати з кожним із значень моменту інерції відносно декартових осей координат
. Але сума останніх за рівнянням зв’язку дорівнює подвоєному моменту інерції сфери відносно точки центра сфери, який згідно виразу дорівнює:
Отже моменти інерції відносно координатних осей будуть рівні двом третім
:
Рис. 5
Перейдемо до знаходження моменту інерції самої кулі.
1. Для цього виділимо її елемент у вигляді тонкостінної сфери радіуса
та товщини (Рис. 5). Момент інерції цієї сфери відносно будь-якої осі, що проходить через її центр, а отже і через центр кулі, згідно дорівнює:
2. Згідно рівностям і масу
виразимо через густину кулі . Маючи на увазі, що об’єм виділеної сфери , запишемо:
3. Підставляючи отримане значення маси у рівність, й інтегруючи його по всіх можливих радіусах сфер, матимемо:
Знайти моменти інерції суцільного циліндра маси
, висотою та радіусом основи А) Відносно вісі ; Б) осей . (Рис. 6) Р озв’язок:
А) Виділимо елемент циліндру
у вигляді нескінченно тонкого диску товщиною . Момент інерції цього диску відносно осі OZ за формулою дорівнює:
Рис. 6
Інтегруючі по всьому циліндру отримуємо:
Б) Моменти інерції обраного нескінченно малого диску як і моменти інерції всього циліндру відносно осей OX та OY з огляду симетрії будуть рівні:
; . Застосуємо теорему Штейнера до диску відносно осі OX. Враховуючи формулу отримуємо:
Згідно рівностям і виразимо масу
через густину циліндру :
Підставимо отриманий вираз для елементу маси
у рівність для знаходження , а отже й , і проінтегруємо по всій довжині циліндра:
Помітимо, що при
формула переходить в формулу . Якщо перемістити початок координат у центр мас, то змінюючи границі інтегрування у виразі або за теоремою Штейнера отримаємо:
Відповідного значення набуде й
.Висновки
Визначення моментів інерції тіл є необхідною складовою розв’язку задач динаміки твердого тіла. В даній роботі був продемонстрований метод знаходження моментів інерції різних фігур методом поетапного формування складності та проблемності. Даний метод дозволяє не тільки легко розв’язувати задачі, а й сприяє засвоєнню в учнів підходу до них. Дійсно, якщо поступово переходити до кожного класу задач на розглянуту тему, можна простежити чітку схему розв’язку, наведену у вигляді рекомендованої вище послідовності. Для успішного розв’язку задач слід дотримуватися наведених опорних пунктів. Однак не треба забувати й про можливі рівняння зв’язку, які суттєво спрощують задачу.
Отже, фактично діє одна й та сама схема, яка має на увазі відомість отриманих розв’язків менш складних задач. В загальному випадку, коли, наприклад, невідомі значення моментів інерції менш складних фігур внаслідок чи то нерівномірного розподілу маси в них, чи ще за якихось причин, задачу треба розбити на більш простіші, й вирішувати їх поступово, додержуючись наведеної схеми. Такий спосіб приведе до одержання кінцевого результату.
Дія за однією схемою в наростаючому рівні складності задач сприяє закріпленню знань з даної теми, поступово навантажує студентів. Вироблює в них чітке представлення підходу до розв’язку, сприяє комплексності мислення.
Наведений метод розв’язку задач з переходом від простого до складнішого дозволяє вирішувати й багато задач іншого роду. Такими є зокрема задачі на знаходження вектора напруженості електричного поля, вектора магнітної індукції, тощо.
Використана література:Е.М. Новодворская, Э.М. Дмитриев «Методика проведения упражнений по физике во втузе» - М. «Высшая школа» 1981 г. – 318 с.
И.Е. Иродов «Основные законы механики» - М. «Высшая школа» 1985 г. – 248с.
Д.В. Сивухин «Механика» - М. «Наука» 1989 г. – 576 с.
Методические указания к решению задач по общему курсу физики. Разделы «Механика и молекулярная физика» /Сост. Л.И. Осиновская. – Киев: КПИ, 1989 г. – 64 с.
1) Для найбільш поширеного випадку задач, в яких розглядається обертання незмінного твердого тіла навколо нерухомої вісі. Тобто для випадку I=const
2) В даному випадку можна одразу інтегрувати по всій масі кільця, але з методичних міркувань автори показують більш загальний підхід.
11