Устойчивость (стр. 2 из 3)

т.е. для малоуглеродистых сталей формулу Эйлера можно использовать при гибкостях больших 100.

Коэффициент запаса на устойчивость

Представляет собой отношение критической силы для стержня к силе, действующей на него.

Коэффициент запаса на устойчивость может выступать, некоторая заданная нормативная величина, тогда

,где F_adm – нагрузка допускаемая из условия устойчивости.

Пример.

Для заданного сжатого стержня определить допускаемую силу

= 50 см; материал Ст. 3

E = 2 10⁵ МПа;

= 210 МПа

n_y= 2

I_x = I_min = 4 см² ; A = 2*6 = 12 см²;

= 2*50 = 100 см;

F_kp =

_МПа;

kp

МПа

МПа

_pr

формула Эйлера применима

F_{adm =}

кН

Расчет сжатых стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений

Приведенное выше решение пригодно только для сравнительно длинных и тонких стержней. В случае коротких и жестких стержней потеря устойчивости происходит при возникновении пластических деформаций и задача требует специального рассмотрения. Существует решения (Т. Карман, Энгессер) об устойчивости стержня за пределами упругости. Иногда прибегают к эмпирическим формулам типа формулы Ясинского.

, где a и b-константы зависящие от свойств материала.

Изложим методику расчёта на устойчивость, предложенную русским инженером Ясинского в конце прошлого века. Суть этой методики состоит в том, что расчёт на устойчивость подменяется расчетом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаются переменными, зависящими от гибкости. Допускаемое напряжение на устойчивость полагается равным

- допускаемое напряжение при сжатии;

- коэффициент снижения допускаемых напряжений. Он может трактоваться, как следующее отношение.

Коэффициент снижение допускаемых напряжений зависит от гибкости

С увеличением гибкости величины его уменьшается.

Разумеется, что

зависит не только от гибкости, но и от свойств материала. Для наиболее употребительных материалов он вычислен и приведён в таблицах. Приведем такую таблицу для ст. 3 материала наиболее часто применяемого для сжатых элементов.

0	1,00	110	0,52
10	0,99	120	0,45
20	0,96	130	0,40
30	0,94	140	0,36
40	0,92	150	0,32
50	0,89	160	0,29
60	0,86	170	0,26
70	0,81	180	0,23
80	0,75	190	0,21
90	0,69	200	0,19
100	0,60	---	---

Для промежуточных значений

соответствующие значения определяются путем линейной интерполяции.

Примеры.

Если известно сечение сжатого элемента, то нагрузку которую может воспринять стержень из условия устойчивости определяется.

N_{adm =}

1. Определить величину допускаемой нагрузки на ферму из условия устойчивости поясов АВ и ВД.

Материал – Ст. 3,

= 160МПа

Рис. 104

Площадь сечения А = 2А^L = 2*4,8 = 9,6 см² ;

Минимальный момент инерции сечения будет

I_x = 2I^L_x

Минимальный радиус инерции

По сортаменту определяем

=1,53см

Приведенная длина верхнего пояса

см

Гибкость

по таблице

Допускаемое усилие из условия устойчивости для стержня AB:

Свяжем между собой силу, действующую на ферму F и усилие N_AB

Рис. 105

Допускаемая нагрузка на ферму

F_adm=48.5кн

Другим типом задачи является подбор размером сечения заданного типа. Можно записать

A=

Однако

зависит от размеров и формы сечения, таким образом круг замыкается и задача может быть решена только методом попыток. По сути задача подбора сечения сводится к некоторой последовательности задач первого типа.

2. Подобрать размеры квадратного поперечного сечения для сжатого стержня. F=280кн. Материал Ст.3

=160МПа: =1м. Разберемся с геометрическими характеристиками

Рис. 106

A=a² ; I_x=

;

1)

см

a=

см; см^2;

Нагрузка, которую может воспринять сечение при заданных размерах

Размеры сечения слишком велики

2)

см

a=

см; A=24см²;

Размеры сечения слишком малы

3) Т. к. в обоих случаях мы оказались далеки от истины, то попробуем в качестве следующего значения

среднее арифметическое из первых двух

см; a = см; A=36см²;

кн

Обычно считается, что результат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение отличается от действующей силы не более чем на 5% в ту или другую сторону т. е.