Электронные цепи СВЧ (конспект) (стр. 2 из 17)
Выражая
, получим формулу для волнового сопротивления: 
Так как при гармоническом воздействии полное комплексное сопротивление линии может быть записано как
, а полная комплексная проводимость 
, то волновое сопротивление через погонные параметры линии определится как: 
При произвольном воздействии токи и напряжения в линии являются как функциями времени
, так и одной из координат 
, если рассматривать длинную линию как линейно-распределенную систему. Эти процессы описываются уравнениями в частных производных (с частными производными по переменным и : 
.В режиме установившихся гармонических колебаний в линии комплексы тока и напряжения и их производные будут функциями только пространственной координаты (
).В бесконечно малом отрезке линии длиной
распределенные эффекты не проявляются (заведомо выполняется условие 
) и для него справедливы законы Ома и Кирхгофа, как для цепей с сосредоточенными параметрами, поэтому напряжения и токи на отрезке (рис. 1.4) выражаются соотношениями: 
Слагаемое
во втором уравнении является бесконечно малой величиной второго порядка малости и ею можно пренебречь. Тогда первое и второе телеграфные уравнения, описывающие изменение амплитуды и фазы гармонических колебаний вдоль линии запишутся: 
(1.1)или:
Для решения уравнений (1.1) необходимо разделить переменные. Продифференценцируем телеграфные уравнения по пространственной координате
: 
.Подставив в эти уравнения значения первых производных из (1.1), получим:
Если обозначить переменной
коэффициенты при напряжении и токе в правых частях уравнений, получим систему волновых уравнений, представляющих собой дифференциальные уравнения второго порядка: 
Здесь
– комплексная постоянная распространения волн тока и напряжения, характеризующая изменение амплитуды и фазы бегущей волны (волны, распространяющейся без отражений в бесконечной линии).Коэффициент затухания
определяет уменьшение амплитуды электромагнитной волны при прохождении одного метра пути. Коэффициент фазы или волновое число 
показывает изменение фазы при прохождении одного метра пути. Комплексная постоянная распространения через параметры отрезка линии вычисляется по следующему соотношению: 
В случае линии без потерь (
), является чисто комплексной величиной 
. Кроме того, в линии без потерь длина волны связана с коэффициентом фазы соотношением: 
.В реальных линиях передачи существует затухание, связанное с потерями в металлических проводниках
, потерями в диэлектрике 
и потерями на излучение 
. В этом случае коэффициент затухания определится по формуле: 
. Для характеристики потерь в диэлектрике используют тангенс угла диэлектрических потерь ( 
). Для идеального диэлектрика (вакуум) 
. На практике используют диэлектрики с малыми потерями ( 
) – термопласт, керамику, полиэтилен и др. Материалы. Такие диэлектрики являются слабо диспергирующими средами, так как их диэлектрическая проницаемость 
слабо зависит от частоты. Так как токи СВЧ связаны с поверхностью металлов (поверхностный или скин-эффект), то глубина проникновения электромагнитного поля выражается через коэффициент потерь в проводниках соотношением 
. Поверхностное сопротивление металлического проводника с учетом скин-эффекта определяется соотношением: 
где
– частота, 
– абсолютная магнитная проницаемость, 
– удельная электропроводность. Таким образом, полное комплексное сопротивление отрезка линии 
преимущественно связано с геометрическими физическими параметрами проводников линии, а полная комплексная проводимость 
– с аналогичными параметрами диэлектрика. 
Рис.1.4 Дифференциальный отрезок длинной линии
1.3. Решение уравнений длинных линий
для решения однородных волновых уравнений (1.2) составим их характеристическое уравнение и определим его корни.
Тогда решение уравнений для напряжения и тока можно записать в виде:
(1.3)Для определения постоянных интегрирования
зададимся граничными условиями. Воспользуемся значениями напряжения и тока в нагрузке 
и на входе линии 
. Чтобы не определять четырех постоянных интегрирования, решение для тока выразим через найденное решение для напряжения.Для этого определим из (1.3) производную и подставим ее в первое телеграфное уравнение системы (1.1). Получим уравнение:
Откуда:
Так как
, то 
В общем случае волновое сопротивление линии является комплексной величиной
. Выражение для тока в линии запишется: 
(1.4)Найдем постоянные интегрирования
и 
в начале линии ( 
). Тогда при 
из первого уравнения (1.3) и уравнений (1.4) получим: 
откуда, выразив константы интегрирования, можно записать:
, 
.