Изучение свободных колебаний и измерение ускорения свободного падения (стр. 2 из 3)

Рис.3

Достоинством метода оборотного маятника для определения ускорения свободного падения является то, что величины J и l не входят в расчетную формулу для g. Перейдем к обсуждению этого метода. Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции физического маятника относительно оси качаний О (рис.1)

J = Jc + ml (18)

Где Jc –момент инерции маятника относительно оси, параллельной оси качаний и проходящей через центр масс С маятника, l-расстояние между осью О и центром масс С. Подставляя выражение (18) в (16), получаем

(19)

Обсудим, качественно, характер зависимости периода колебаний от расстояния l между центром масс и осью качаний. При очень малых l момент силы тяжести М=- mgl sina (рис.1), стремящийся вернуть маятник в положение равновесия, становится очень малым и период колебаний резко возрастет. В пределе l®0, момент силы тяжести равен нулю и колебания вообще невозможны: маятник находится в состоянии раавновесия. Это согласуется с формулой (19): при l®0 период

(20)

В обратном пределе, для очень больших l , можно пренебречь Jcпо сравнению с ml и рассматривать физический маятник как математический с длиной подвеса l. В этом случае период колебаний Т= При l период Т также неограниченно возрастает. При возрастании lпериод T сначала убывает до некоторого минимального значения Tm=Tmin, а затем вновь возрастает. Качественно вид зависимости T(l) изображен на рис.4.

Значению l=0 соответствует центр масс маятника. Если маятник подвешивать по другую сторону от центра масс, то, как видно из формулы (19), зависимость T(l) будет точно такой же. Поэтому график T(l) имеет две симметричные ветви, соответствующие положению точки подвеса маятника слева или справа от его центра масс.

lml1 0 lm l2 l

Рис.4

Из графика видно, что по каждую сторону от центра масс маятника имеется по две точки подвеса, для которых периоды колебания маятника совпадают.Найдем такие два положения l1 и l2(l2=l1) точек подвеса по разные стороны от центра масс (рис.5), чтобы периоды колебаний маятника совпадали:

T(l1) = T(l2).(21)

Как видно из (19), для этого необходимо выполнение равенства

Jc/ml1+l1= Jc/ml2+l2(22)

которое имеет место либо при l1 = l2, либо при

l2= Jc/ml1(23)

В последнем случае период колебаний маятника

(24)

Следовательно, ускорение свободного падения может быть определино по формуле

(24)

Как видно из (24), для нахождения gдостаточно измерить только две величины: расстояние L=(l1+l2)между точками подвеса маятника (опорными ребрами призм) и период колебаний маятника в положении l1 и в “перевернутом положении” l2, таком, что l1¹l2. При этом периоды колебаний должны совпадать, т.е. должно выполняться условие T(l1)=T(l2)=T. Напомним, что в этом случае величина L=(l1+l2) называется приведенной длиной маятника.

Рис.5

2. Экспериментальная часть

2.1. Описание установки

Комбинированная лабораторная установка позволяет проводить исследование свободных колебаний двух типов маятников: математического и физического. В качестве физического маятника применяется маятник Кэтера.

Установка (рис.6) состоит из горизонтальной подставки 2, на которой закреплена вертикальная стойка 5. На верхнем торце стойки жестко закреплен горизонтальный кронштейн 8. Четыре ножки винта 1 позволяют устанавливать подставку в горизонтальном положении. С одной стороны кронштейна находится барабан 11, который может вращаться с небольшим усилием с помощью ручки 10. Тонкая нить, немотанная еа барабан , пропущена через неболльшое отверстие в кронштейне. На конце нити закреплен стальной шарик 3 небольшого радиуса . Шарик , подвешанный на нити , можно рассмстривать как математический маятник , совершающий колебания в вертикальной плоскости . Длину нити, а тем самым и длину маятника, можно менять, вращая барабанчик.

l 6

Рис.6

С противоположной стороны кронштейна в специальном гнезде подвешан оборотный маятник . Он состоит из тонкого стального стержня 9, по которому можно перемещать две массивные чечевицы 4 и две легкие опорные призмы 6. Опорные призмы и чечевицы фиксируются на стержне с помощью винтов. Правильное взаимное расположение опорных призм и чечевиц на стержне приведено на рисунке 6. Нанесенные на стержень деления(цена деления – 1,0см) позволяют определять положения призмы и чечевиц на стержне. Маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости.

Колебания как математического, так и оборотного маятников будут гармоническими, если амплитуда колебаний не будет превышать нескольких градусов (4 – 6)

2.2. Определение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника

2.2.1. Вывод рабочей формулы

Длина маятника равна расстоянию от точки подвеса до центра тяжести шарика ,поэтому непосредственно измерить длину маятника достаточно сложно. Как видно из рис.7 длина маятника l = l0 + r, где r –радиус шарика. При измерении ускорения силы тяжести поступают следующим образом: измеряют с помощью линейки расстояние hот основания подставки до шарика и диаметр шарика 2r. Длина маятника, как видно из рисунка, l = H-h-r. Затем определяют периоды свободных колебаний T1и T2маятников двух различных длин:l’ и l”. Из формулы (17) имеем

l l0 H