Поступательное и вращательное движения абсолютно твёрдого тела. Момент силы относительно точки. (стр. 2 из 3)

Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени

угловая скорость тела изменяется на величину , то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем,

Рис 10

или .

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T2 (1/время2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с2 или, что то же, 1/с2 (с-2).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины

и имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора

, направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Направление

совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и (рис.10,а), противоположно при замедленном вращении (рис.10,б),

РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЯ

Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (

=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы имеем .

Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол

, и беря интегралы слева от до , а справа от 0 до t, получим окончательно

.

Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда

и .

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и
1/с. При одном обороте тело повернется на угол
, а при n оборотах на
; этот поворот делается за время t=1 мин= 60 с. Из равенства следует тогда, что

.

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным

, то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол , а угловая скорость = 0 ( 0 - начальная угловая скорость).

Из формулы

имеем . Интегрируя левую часть в пределах от 0 до , а правую - в пределах от 0 до t, найдем ,

или .

Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения

.

Если величины

и имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см.рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол

, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, т.е

или .

Скорость

в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости тонки вращающегося. твердого тела равно произведению угловой скорости тела на. расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела

имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

Рис.11	Рис. 12

Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

, .

В нашем случае

=h. Подставляя значение v в выражения и аn , получим:

или окончательно:

, .

Касательная составляющая ускорения

направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 12). Полное ускорение точки М будет или .

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом

, который вычисляется по формуле . Подставляя сюда значения и , получаем