Кинематика (стр. 5 из 6)

Поскольку модуль ускорения

может быть вычисленпо формуле (3) через угловую скорость тела , обычно известную к этапу нахождения ускорений, целесообразно в формуле (2) вектор записывать вслед за известным вектором _А, т.е. перед вектором .

Векторы

и параллельны оси Оz и поэтому полностью определяются своими проекциями на эту ось

Модуль проекции равен модулю вектора

; , а знак проекции указывает на направление вектора. Например, если проекции векторов положительны ( , то векторы направлены так же, как и , или ось Oz. Таким образом, при плоском движении тела задача нахождения векторов сводится к задаче отыскания их проекций на ось Oz или Az'.

Если

(рад) - угол между осью Ax' (Ох) и вектором (рис. 1) и за положительное направление отсчета угла для выбранной системы координат принято направление против хода часовой стрелки, то

рад/с; = = рад/с.(4)

О направлении векторов

и судят по круговым стрелкам и согласно правилу: "круговая стрелка, направленная против хода стрелки часов, соответствует вектору, направленному так же, как ось Oz".

Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2,

´ ; _B = ; ;

; ,(5)

следует, что в данный момент времени распределение скоростей точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Р_z с угловой скоростью

.

Если отсчитывать угол 90 от направления вектора скорости точки _Aк направлению АР от этой точки до МЦС, то направление отсчета угла совпадает с направлением круговойстрелки . Этот факт можно использовать для определения направления вектора .

Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Q на рис. 3),

; ;(6)

,

следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Q_zс угловой скоростью

и угловым ускорением .

Угол

отсчитывается от вектора ускорения какой-либоточки в направлении круговой стрелки . При отыскании положения МЦУ по ускорениям двух точек, например по и , под углом к соответствующим ускорениям проводят лучи AQ и BQ. Точка пересечения лучей (точка Q) является МЦУ плоской фигуры в данный момент времени.

Направления векторов

и помимо формул (4) могут быть найдены из отдельных векторных формул

; ; .(7)

Рис. 4

Чтобы избежать анализа расположения трех взаимно перпендикулярных векторов формул (7) при известных

, , направления и находят аналогично случаю вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (рис. 4).

Рис. 5

Кинематика плоского движения

катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общемслучае криволинейной), имеет некоторые особенности вследствие того,что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении каткарасстояние от его центра (точкиА) до МЦС является неизменным во времени и равнымR.

AP(t) = const = R(8)

Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик катка. Представим вектор скорости точки А с помощью:

а) формулы естественного способа задания движения точки

, где - единичный вектор естественного трехгранника, касательный в точке A к кривой ее движения; S_A - криволинейная координата точки;

б) формулы (7) плоского движения тела

,

;

- орт оси Оz, перпендикулярной плоскости движения катка Qxy;j - угол, задающий направление какого-либо отрезка плоской фигуры катка. Ввиду произвольности выбора такого отрезка, обычно собственно отрезок, не указывают на рисунках, а изображают лишь круговую стрелку положительного направления отсчета угла j, называя его углом поворота катка.