Прикладная механика (стр. 1 из 2)
Задача 1
Для стального трубчатого вала
, который оборачивается с постоянной угловой скоростью, требуется:1. Определить, пренебрегая трением в подшипниках, мощность на шкиве P0 .
2. Найти крутящиеся моменты, переданные каждым шкивом.
3. Построить эпюру моментов.
4. Из условия жесткости и крепости определить внутренний и внешний диаметры вала.
5. Построить эпюру углов закручивания по длине вала, приняв за недвижимый срез под первым левым шкивом.
Дано:
P1 = 24 кВт; a = 1,2 м;α = 0,8; G = 0,9·105Мпа.
P2 = 32 кВт; b = 1,0 м; ω = 130 рад/с;
P3 = 27 кВт; c = 0,4 м; [σ] = 180 МПа;
P4 = 12 кВт; d = 1,0 м; [θ] = 3,0º;
Решение:
Схема вала приведена на Рис. 1.
Рис. 1. Вал
Определяем мощность на шкиву P0 :
∑ Pi = P1 – P2 - P0 + P4 -P0 = 0;
P0 = P1 – P2 – P3 + P4 = 24 – 32 – 27 + 12 = - 23 кВт.
1. Определяем крутящиеся моменты на шкивах:
Т1 =
= 
= 0,185 кНм;Т2 =
= 
= 0,246 кНм;Т3 =
= 
= 0,207 кНм;Т4 =
= 
= 0,092 кНм;Т0 =
= 
= - 0,177 кНм.2. Определяем крутящиеся моменты на участках вала:
Ткр1 = Т1 = 0,185 кНм;
Ткр2 = Т1 – Т2 = 0,185 – 0,246 = - 0,061 кНм;
Ткр3 = Т1 – Т2 – Т0 = - 0,061 + 0,177 = 0,116 кНм;
Ткр4 = Т1 – Т2 – Т0 – Т3 = 0,116 – 0,207 = - 0,091 кНм.
Строим епюру крутящих моментов. Максимальный крутящий момент на первом участке:
Ткрmax= 0,185 кНм.
3. Определяем диаметр вала из условия прочности:
τ =
[τ]= 0,6·[σ] = 0,6·180 = 108 Мпа.
Для трубчатого вала
Wp =
Тогда условие крепости будет
τ =
Из условия получаем
D
= 
= 
= 24,25 мм.Определяем диаметр вала из условия жесткости
Θ =
;Ip =
.Допустимый угол закручивания задан в градусах, а нужно в радианах, поэтому:
[θ]= 3,0
= 0,0523 рад/м.Условие жесткости:
Θ =
Из условия получаем:
D
= 
= 32,3 мм.Принимаем D = 33 мм.
d = α·D = 0,8·33 = 26,4 мм.
Тогда:
Ip =
= 
= 6,87·104 мм44. Найдем углы закручивания участков вала по формуле:
φi =
;φ1 =
= 0,0359 рад = 2,06º;φ2 =
= - 0,00987 рад = - 0,565º;φ3 =
= 0,0075 рад = 0,43º;φ4 =
= - 0,0147 рад = - 0,84º.Приняв за недвижимый срез под левым шкивом, строим эпюру угла закручивания:
α1 = 0;
α2 = φ1 = 2,06º;
α0 = φ1 + φ2 = 2,06º + (-0,565º) = 1,495º;
α3 = φ1 + φ2 + φ3 = 1,925º;
α4 = φ1 + φ2 + φ3 + φ4 = 1,085º.
Рис. 2. Вал и его эпюры
Задача 2
Для статически определимого бруса квадратного ступенчато-переменного сечения, нагруженного показанными на рис.3 осевыми сосредоточенными нагрузками, требуется:
1. Построить эпюру продольных сил.
2. Из условия прочности определить площади и размеры сечений участков бруса.
3. Вычислить абсолютные продольные деформации участков бруса и построить эпюру его осевых перемещений.
4. Сделать эскиз ступенчатого бруса.
Рис.3. Ступенчатый брус
Дано:
F1= +94 kH; l1=2,6 м;
F2=-56 kH; l2=2,0 м;
F3= +37 кН; l3= 1,2 м;
F4= +84 кН; l4=3,2 м;
[σ]= 170 МПа;Е = 1,9·105 МПа.
Решение:
1. Изображаем в масштабе (по длине) брус и указываем нагрузку и размеры участков. На каждом участке проводим сечение и рассматриваем равновесие нижней отсеченной части, находим продольную силу в этих сечениях. Так как на исходном рисунке все силы направлены вниз, то продольная сила в любом сечении будет равна алгебраической сумме всех заданных сил, находящихся ниже данного сечения.
Сечение 1-1:
N1=F1=94 кН;
Сечение 2-2:
N2=F1+F2=90+(-56)= 38 кН;
Сечение 3-3: N3= F1+ F2+ F3 = 90 + (-56) + 37 = 75 кН;
Сечение 4-4: N4=F1+ F2+ F3+ F4= 90 + (-56) + 37 + 84 = 159 кН.
По этим данным строим эпюру N, учитывая, что на протяжении участка продольная сила постоянна.
2. Из условия прочности:
σ =
находим площади поперечных сечений участков бруса:
A1 ≥
= 
= 552,9 мм2;а1 =
= 
=23,51 мм;A2 ≥
= 
= 223,53 мм2;а2 =
= 
= 14,95 мм;A3 ≥
= 
= 441,18 мм2;а3 =
= 
=21 мм;А4 ≥
= 
= 935,29 мм2;а4 =
= 
= 30,58 мм.Примечание: N и [σ] имеют одинаковый знак поэтому при вычислении площади поперечного сечения их значения берутся по модулю.
3.Определяем удлинения (укорочения) участка бруса:
Δl1 =
= 
= 23,2 мм;Δl2 =
= 
= 17,89 мм;Δl3 =
= 
= 10,73 мм;