Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия (стр. 5 из 6)
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
=0 при (l=0), 
при (l=1), 
при (l>1).Из этих уравнений находим
, 
.Все остальные коэффициенты равны нуля, если
.Таким образом, решение задачи имеет вид:
(30) 
Используя формулу
, вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы 
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
(31)
(32)где
- объём сферы.Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом
. Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью
(33)Полная напряжённость внутри шара
(34)Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля
, которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.5. Приложение.
1. Формула Остроградского – Гаусса.
Пусть f (x, y, z) - некоторая функция , а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном оси X, f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого отрезка получим:
где
и 
- значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть dσ - площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на dσ. Так как dσdx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится:
,где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а
1 и 2 –единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:
dσ = d
2 
2х = - d 
1 1х,а поэтому:
или короче:
где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:
(35)Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.
Возьмём теперь произвольный вектор
и применим к его компонентам соотношение (35). Получим: 
и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:
или:
Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:
Смысл её заключается в том, что полный поток вектора через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.
Если объём V бесконечно мал, то величина div
внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V→ 0, получим: 
Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.
2. Формула Стокса.
По определению ротор (вихрь) некоторого вектора
:
(36)Зная ротор вектора
в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру 
, ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы 
. Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора 
по контуру, ограничивающему 
, может быть представлена в виде.
(37)где
- положительная нормаль к элементу поверхности .Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем
, и тогда получим циркуляцию вектора по контуру , ограничивающему S: