Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия (стр. 4 из 6)
предыдущее выражение можно записать, как
.Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а следовательно, и
вектора
, то имеем
(21)В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить
=0. Учитывая, что 
, а 
есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде: 
где
.Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора
:
(22)Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора
(22) и нормальной составляющей вектора 
(19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора 
при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора 
, если имеются поверхностные токи (21).Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (
0) и уравнение (4), из которых следует: 
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:
(23)Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:
.Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
; 
(24)
; 
где
- нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).
В случае стационарных электрических и магнитных полей (
и 
) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на системууравнений электростатики:
, 
, 
(25)и уравнений магнитостатики:
, 
, 
, (26)а граничные условия остаются те же.
4. Пример
В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле
. Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при 
=0 имеют вид:
, 
, 
(27)Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению
(28)причём
= - 
, 
- 
. В однородном диэлектрике 
=const , поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа 
=0.Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:
при r=R (29)Здесь
– решение уравнения вне сферы, а 
– внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала
= (30)Это условие можно получить, рассматривая интеграл
по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением 
, находим 
Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция
непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что 
где элемент
направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора 
также непрерывны.Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля
.Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал
должен удовлетворять условию 
при 
.Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра
: 
, 
.Здесь потенциал нормирован так, чтобы
при 
. Так как 
, то из условия на бесконечности находим 
.