Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия (стр. 2 из 6)
Левую часть равенства (1.2) преобразуем по теореме Стокса. В результате получится:
.Ввиду произвольности выбора поверхности интегрирования должно выполняться равенство
.Ротор поля
в каждой точке пространства равен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора 
.Это поле
, порождающееся изменением магнитного поля, существенно отличается от порождаемого электрическими зарядами электрического поля 
. Электростатическое поле потенциально, его линии начинаются и заканчиваются на зарядах. Ротор вектора в любойточке равен нулю:
=0.Согласно (1.2) ротор вектора
отличен от нуля. Следовательно, поле 
так же, как и магнитное является вихревым. Линии напряжённости замкнуты.Таким образом, электрическое поле может быть как потенциальным (
) так и вихревым ( ). В общем случае электрическое поле слагается из этих двух полей. Сложив вместе и , получим следующее уравнение:
. (1.3)Существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями служит причиной того, что раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов в одной системе координат, однако они могут двигаться относительно другой инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта оказывается «чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчёта будет представлять собой совокупность электрического и магнитных полей, образующих единое электромагнитное поле.
Выводя формулу (3), Максвелл пересмотрел уравнения для ротора вектора
для случая стационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, где ротор вектора равен в каждой точке плотности тока проводимости:
, (3.1)где вектор
связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:
(3.2)Электромагнитное поле может быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда
и плотность тока не зависят от времени. В этом случае согласно (3.2) дивергенция 
равна нулю.Поэтому можно выяснить, является ли справедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временем полей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 1).
Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным U, ток прекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке между обкладками конденсатора.Возьмём круговой контур Г, охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируем соотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:
.Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора
по контуру Г:
(3.3)(I – сила тока заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности S2, придём к явно неверному соотношению:
(3.4)Полученный результат указывает на то, что в случае изменяющихся со временем полей уравнение (3.1) перестаёт быть справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее от произвольных полей во времени. Для стационарных полей это слагаемое обращается в нуль.
На неправомерность уравнения (3.1) в случае нестационарных полей указывает также, следующие соображения. Возьмём дивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):
Дивергенция ротора должна быть обязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенция вектора
также должна быть всегда равной нулю. Однако этот выводпротиворечит уравнению непрерывности, где
отлична от нуля.Чтобы согласовать уравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (3.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметь вид:
(3.5)Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полного тока равна:
(3.6)Если положить дивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком,
(3.7)то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как и дивергенция левой части, всегда будет равна нулю.
Заменив в (3.7)
согласно (3.2) через 
, получим следующее выражение для дивергенции тока смещения:
. (3.8)Чтобы связать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением:
Продифференцировав это соотношение по времени, получим:
Теперь поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координа -там. В результате придём к следующему выражения для производной
по 
. 
.Подстановка этого выражения в формулу (3.8) даёт:
.Отсюда
(3.9)Подставив выражение (3.9) в формулу (3.6), придём к уравнению
.Каждое из векторных уравнений (1) и (3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальных операторов, можно записать их в следующем виде:
; 
; 
(5)
(6)для первой пары уравнений, и:
; 
; 
(7)