Расчет линейной электрической цепи при гармоническом воздействии (стр. 2 из 3)

z₃=z₂+R=630-j*2251 [Ом]

z₄=z₃* z_c/z₃₊z_c=324,877-j*1512 [Ом]

z_э=z₄+R=744,877-j*1512 [Ом]

İ=E₁/z_э= 1.531*10^-4+j*8.542*10^-3 [A]

|İ|= 8,543*10^-3 [A]

I_m=|İ|*2^1/2 = 0,012 [A]

i(t)= 0,012*cos(427040t+88,97) [A]

U_R=I*R=3,57*e^j*88,97 [B]

U_Zэ=I*Z_э=14,3*e ^j*25,2 [B]

Построим векторную диаграмму:

4.Составление системы уравнений для расчёта токов и напряжений

RRE₄ C

E₁ E₂ E₃ E₅

CR R

C

Рисунок 6 – схема сложной электрической цепи

Составим граф электрической схемы, чтобы выбрать независимые контуры и зададим контурные токи:

I₁ I₂ I₃

Рисунок 7 – Граф электрической цепи

Для данных контуров составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа с учётом совместного влияния одного контура на другой. Направления обхода во всех контурах выбираются одинаковыми.

I_1*(R+1/(j2πfC))-I₂*1/(j2πfC)=E₁-E₂

I₂*(2R+2/(j2πfC))-I₁*1/(jπfC)-I₃*(R+1/(j2πfC))=E₂-E₃

I₃*(2R+2/(j2πfC))-I₂*(R+1/(j2πfC))=E₃+E₄-E₅

5.Расчёт токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера

Для расчёта электрической схемы составим систему уравнений по методу контурных токов:

I_1*(R+1/(j2πfC))-I₂*1/(j2πfC)=E₁-E₂

I₂*(2R+2/(j2πfC))-I₁*1/(j2πfC)-I₃*(R+1/(j2πfC))=E₂-E₃

I₃*(2R+2/(j2πfC))-I₂*(R+1/(j2πfC))=E₃+E₄-E₅

По системе уравнений составим матрицу сопротивлений Z, т. е. впишем соответствующие коэффициенты при токах I₁, I₂, I₃:

R+1/(j2πfC) -1/(j2πfC) 0

-1/(j2πfC) 2R+2/(j2πfC) -R-1/(j2πfC)

0 -R-1/(j2πfC) 2R+2/(j2πfC)

Токи в контурах определим по формуле Крамера: İ_n=D_n/D (n=1,2,3….), где D – главный определитель матрицы сопротивлений Z, а D_n – определитель, полученный из D при замене элементов его k-го столбца соответствующими правыми частями уравнений. Правая часть уравнений – матрица-столбец, составленная из свободных членов:

E₁-E₂ 0,724+j11,992

E= E₂-E₃ = -0,724-j11,992

E₃+E₄-E₅ 12.3056-j5,7906

Главный определитель матрицы равен:

R+1/(j2πfC) -1/(j2πfC) 0

D= -1/(j2πfC) 2R+2/(j2πfC) -R-1/(j2πfC) =

-5,934*10¹⁰+j*8,404*10¹⁰ [A]

0 -R-1/(j2πfC) 2R+2/(j2πfC)

Найдём определители D₁,D₂,D₃:

E₁-E₂ -1/(j2πfC) 0

D₁= E₂-E₃ 2R+2/(j2πfC) -R-1/(j2πfC) = -1.844*10⁸-j*1.466*10⁸ [A]

E₄ -R-1/(j2πfC) 2R+2/(j2πfC)

R+1/(j2πfC) E₁-E₂ 0

D₂= -1/(j2πfC) E₂-E₃ -R-1/(j2πfC) = -3.144*10⁸+j*6.83*10⁷ [A]

0 E₄ 2R+2/(j2πfC)

R+1/(j2πfC) -1/(j2πfC) E₁-E₂

D₃₌ -1/(j2πfC) 2R+2/(j2πfC) E₂-E₃ = -3.114*10⁸+j*2.148*10⁷ [A]

0 -R-1/(j2πfC) E₄

Контурные токи будут равны:

I₁=D₁/D= -1.302*10^-4+j*2.286*10^-3 [A]

I₂=D₂/D= 2.305*10^-3+j*2.114*10^-3 [A]

I₃=D₃/D= 1.917*10^-3+j*2.352*10^-3 [A]

6.Расчёт токов и напряжений сложной электрической цепи методом обращения матрицы

Для расчёта токов методом контурных токов, необходимо составить систему уравнений. Воспользуемся системой уравнений, составленной в предыдущем пункте:

I_1*(R+1/(j2πfC))-I₂*1/(j2πfC)=E₁-E₂

I₂*(2R+2/(j2πfC))-I₁*1/(j2πfC)-I₃*(R+1/(j2πfC))=E₂-E₃

I₃*(2R+2/(j2πfC))-I₂*(R+1/(j2πfC))=E₃+E₄-E₅

Для нахождения токов I₁, I₂, I₃ решим систему уравнений методом обращения матрицы. Ī_n=Z_n^-1*Ē_n, где Z_n^-1 – обратная матрица сопротивлений схемы, которая равна:

2,477*10^-4+j*5,42*10^-4 1,971*10^-4+j*3,429*10^-4 9,857*10^-5+j*1,715*10^-4

1,971*10^-4+j*3,429*10^-4 1,651*10^-4+j*3,613*10^-4 8,257*10^-5+j*1,807*10^-4

9,857*10^-5+j*1,715*10^-4 8,257*10^-5+j*1,807*10^-4 5,156*10^-5+j*2,005*10^-4

E₁-E₂ 0,724+j11,992

E= E₂-E₃ = -0,724-j11,992

E₃+E₄-E₅ 12,3056+j5,7906

2.477*10^-4+j*5.42*10^-4 1,971*10^-4+j*3,429*10^-4 9,857*10^-5+j*1,715*10^-4 0,724+j11,992

I_n= 1,971*10^-4+j*3,429*10^-4 1,651*10^-4+j*3,613*10^-4 8,257*10^-5+j*1,807*10^-4 * -0,724-j11,992 =

9,857*10^-5+j*1,715*10^-4 8,257*10^-5+j*1,807*10^-4 5,156*10^-5+j*2,005*10^-4 12,3056+j5,7906

1.302*10^-4+j*2.286*10^-3 I₁= 1.302*10^-4+j*2.286*10^-3 [A]

= 2.305*10^-3+j*2.114*10^-3 => I₂= 2.305*10^-3+j*2.114*10^-3 [A]

1.917*10^-3+j*2.352*10^-3 I₃= 1.917*10^-3+j*2.352*10^-3 [A]

7.Определение достоверности значения токов на основе закона Кирхгофа

RRE₄ C