Динамика вращательного движения твердого тела (стр. 4 из 6)
Рис. 6
Дано:
12 кг; 
4 кг; 
10 м/с2.____________
а
?Решение: Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением
вала соотношением 
,(1)где
радиус вала. Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела: 
,(2)где
вращающий момент, действующий на вал; 
- момент инерций вала.Рассмотрим вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен
.(3)Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения нити Т шнура на радиус вала:
.(4)(Учитывая, что шнур невесомый и нерастяжимый,
).Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: силы тяжести
, направленная вниз, и сила натяжения 
шнура, направленная вверх; равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона 
, откуда 
.(5)Таким образом, вращающий момент равен
.(6)Подставив в (2) выражения (3) и (6), получаем
.(7)Ускорение гири найдем из (1) после подстановки туда выражения (7)
, откуда 
4 м/с2.Пример 6
Однородный диск радиусом
0,2 м и массой 
5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени даётся уравнением 
где С=2 рад/с2. Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения 
1 Н 
м. Определить величину касательной силы 
, приложенной к ободу диска.Дано:
0,2 м; 5 кг; 
;С=2 рад/с2;
1 Н м. 
? 
Рис. 7
Решение: Касательная сила
, приложенная к ободу диска, создает вращающий момент сил 
, который по определению момента сил равен произведению величины этой силы и её плеча; плечом силы в нашем случае является радиус диска, поэтому 
.(1)Вращающему моменту сил
противодействует момент сил трения 
.Согласно основному уравнению динамики вращательного движения произведение момента инерции диска
и его углового ускорения 
равно векторной сумме моментов сил, приложенных к диску относительно центра вращения тч. О. 
(2)Поскольку векторы моментов сил
и 
антинаправлены (в чём можно убедиться, используя правило правого винта), то в проекциях на ось ОХ этот закон примет вид 
.(3)Момент инерции диска относительно оси вращения определяется по формуле
.(4)Угловое ускорение диска найдем как вторую производную угла поворота диска по времени:
, 
.(5)Решая совместно (1) – (5), получаем
.(6)После подстановки в (6) численных значений
7 Н.Пример 7
Вследствие действия приливов продолжительность суток на Земле увеличивается за время
100 лет на 
10-3 с. Определите приливную силу трения. Землю считать однородным шаром массой 6 1024 кг и радиусом 6,4 106м.Дано:
100 лет; 10-3 с; 6.1024 кг; 6,4.106м. 
?Решение: Из основного уравнения динамики вращательного движения изменение момента импульса Земли
равно произведению момента приливной силы 
на время его действия 
: = (1)Момент инерции Земли (однородный шар массой
и радиусом 
)
.(2)Изменения угловой скорости Земли равно
,(3)где
- период вращения Земли (24 ч=8,64 104 с); 
.