
.(1)
Момент инерции цилиндра

относительно оси

определяется формулой

, где

, поэтому

.(2)
Массу цилиндра выразим через его плотность

и объем

:

, где

, поэтому

; площадь основания цилиндра

и, следовательно,

.(3)
Расстояние между осями

и

. (4)
Подставив (2), (3) и (4) в (1), получаем

+

Пример 2
Два маленьких шарика массой

10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной

20 см. Определить момент инерции

системы, относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
Дано:

10 г

10
-2 кг; 
20 см

0,2 м.

?

Рис. 3
Решение: Общий момент инерции, проходящий через центр масс системы (точка С) равен сумме моментов инерции двух материальных точек массой

каждая и вращающихся вокруг оси

на расстоянии

.

2
.10
-4 кг

м
2.
Пример 3
Найти момент инерции

плоской однородной прямоугольной пластины массой

800 г относительно оси, совпадающей с одной из её сторон, если длина другой стороны равна
а 
30 см.
Дано:

800 г

0,8 кг;
а
30 см 
0,3 м.

?

Рис. 4
Решение: Найдем момент инерции пластины относительно оси

. Для этого разобьем пластину на бесконечно малые участки массой

(один из них выделен на рис. 4).

,(1)
где

- поверхностная плотность пластины;

- площадь пластины.
Так как участок массой

можно считать материальной точкой, то момент инерции этого участка относительно оси

.(2)
После подстановки выражения (1) в (2) получаем

.(3)
Складывая моменты инерции всех участков, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до а:

.(4)
Подставив численные значения, найдем

2,4

10
-2 кг

м
2.
Пример 4
Обруч массой

1 кг и радиусом

0,2 м вращается равномерно с частотой

3 с
-1 относительно оси

, проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить момент импульса обруча

.
Дано:

1 кг;

0,2 м;

3 с
-1.

?

Рис. 5
Решение: Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции этого тела

и его угловой скорости

:

.(1)
Момент инерции обруча относительно оси

по теореме Штейнера равен сумме момента инерции этого обруча

относительно оси

, проходящей через его центр С, и произведения массы обруча

на квадрат расстояния

между осями

и

, которое, как следует из рисунка, равно

:

,(2)
где

. (3)
Угловая скорость

обруча связана с его частотой вращения

соотношением

.(4)
Подставив выражение (2), (3) и (4) в (1), получаем

0,94 кг

м
2 
с
-1.
Пример 5
Вал в виде сплошного цилиндра массой

12 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой

4 кг. С каким ускорением
а будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?