Колебания кристаллической решетки (стр. 4 из 5)

Чтобы понять, что представляют собой длинноволновые колебания этой ветви, найдем отношение амплитуд колебаний B/A при k = 0 с помощью (36):

(42)

Мы видим, что атомы в каждой ячейке движутся в противофазе, то сближаясь, то удаляясь друг от друга, причем одновременно во всех ячейках (если k = 0). Амплитуда движения легкого атома больше амплитуды тяжелого в M₂/M₁ раз, т. е. центр тяжести ячейки остается на месте.

Рис. 3.3. Амплитуды атомов цепочки в случае длинноволновых оптических колебаний.

Если атомы заряжены, то при колебаниях такого типа каждая ячейка представляет собой переменный дипольный момент. Дипольные моменты взаимодействуют с электромагнитным полем, и колебания легко возбуждаются электромагнитными волнами соответствующих частот. В связи с этим, вся ветвь колебаний называется оптической.

При длинноволновых акустических колебаниях атомы ячейки движутся в фазе и никакого дипольного момента не возникает. Поэтому акустические колебания с электромагнитным полем взаимодействуют слабо.

Энергия длинноволнового оптического фонона имеет тот же порядок величины, что и энергия фонона акустического колебания с максимальной частотой, которую мы оценили в 0,05 эВ. Энергии оптических фононов большинства полупроводниковых кристаллов лежат в диапазоне 0,03ч 0,1 эВ.

Посмотрим теперь, как колеблются атомы, когда длина волны минимальна, т. е. когда волновой вектор лежит на границе зоны Бриллюэна.

В случае акустических колебаний ω² = 2γ/M₂, коэффициент при B во втором уравнении системы (25) обращается в ноль, откуда следует что A = 0.

В случае оптических колебаний ω² = 2γ/M₁, и из первого уравнения (25) следует что B = 0.

Таким образом, при k = π/a в случае акустических волн колеблются тяжелые атомы, а легкие неподвижны, в случае оптических, наоборот: колеблются легкие, тяжелые стоят на месте.

Обобщим теперь полученные результаты. Нетрудно показать, что если примитивная ячейка одномерной цепочки содержит l атомов, то спектр колебаний состоит из l ветвей, одна из которых акустическая, а остальные – оптические.

Мы рассматривали бесконечную цепочку, не накладывая никаких ограничений на длины волн упругих колебаний. В результате, мы пришли к выводу, что в цепочке могут распространяться колебания с любыми волновыми векторами, лежащими в первой зоне Бриллюэна. (Было показано, что из-за дискретности цепочки волновые вектора, отличающиеся на произвольный вектор обратной решетки, описывают одни и те же колебания. Поэтому можно брать волновой вектор из любой зоны Бриллюэна. Естественней всего описывать колебание наименьшим волновым вектором, т.е. вектором из первой зоны Бриллюна.)

Чтобы иметь дело не с непрерывным, а с дискретным набором волновых векторов, можно потребовать, чтобы отклонение атомов от равновесия было периодической функцией: u(x_n) = u(x_n+L). Иными словами — поставить граничные условия Борна-Кармана. Период L должен быть кратен постоянной решетки цепочки.

Условиям Борна-Кармана удовлетворяют только гармонические колебания с ''разрешенными'' волновыми векторами k_n = 2π n/L. Нетрудно подсчитать, что в зоне Бриллюэна размещается L/a разрешенных волновых векторов, т. е. ровно столько, сколько примитивных ячеек укладывается на длине L. (Волновым векторам –π/a и π/a соответствует одно и то же колебание и поэтому считаем эти два значения за одно). Мы уже упоминали выше об этом свойстве зоны Бриллюэна.

Так как колебание однозначно определяется волновым вектором и ветвью, то различных колебаний столько, сколько атомов содержит цепочка. Это общее свойство линейных колебательных систем: количество независимых колебаний (нормальных мод) равно числу степеней свободы системы.

Глава 4. Энергия колебаний и теплоемкость кристаллической решетки

Энергию колебаний и теплоемкость решетки будем рассчитывать для единичного объема кристалла, т. е. положим нормировочный объем равным единице: V = L³ = 1.

Чтобы вычислить среднюю энергию колебаний кристаллической решетки, нужно просуммировать среднюю энергию всех типов колебаний (всех состояний фононов):

(43).

Проще всего это сделать при высоких температурах, когда для частот всех колебаний выполняется неравенство ħω_jk<< kT (классический предел). Тогда средняя энергия, приходящаяся на каждое колебание, равна k_BT, всего колебаний 3lN = 3lN, для полной энергии E получаем:

(44).

Так как N – число примитивных ячеек кристалла в единице объема, то N = 1/v₀, где v₀ – объем примитивной ячейки.

Теплоемкость решетки при высоких температурах постоянна (закон Дюлонга и Пти): C_V = 3lNk (45).

При невысоких температурах все сложнее. Чтобы точно вычислить энергию решетки, то есть сосчитать сумму (45), необходимо знать дисперсионные зависимости для всех ветвей колебаний. И даже при условии, что зависимости эти известны, аналитическое выражение для энергии получить практически невозможно.

Поэтому для нахождения энергии и теплоемкости решетки применяют различные приближения.

4.1. Модель Эйнштейна

В модели Эйнштейна предполагается, что частоты всех фононов одинаковы: ω_jk = ω₁ (46).

Тогда для энергии получаем:

(47).

При высоких температурах, k_BT>>ħω₁, эта зависимость приводит к выражению (45) для энергии и закону Дюлонга и Пти (46) для теплоемкости.

При низких температурах, kT<<ħω₁, энергия колебаний и теплоемкость экспоненциально уменьшаются:

Модель Эйнштейна хорошо описывает вклад в энергию и теплоемкость оптических ветвей фононов, у которых частота слабо зависит от волнового вектора и ее можно считать постоянной. Чтобы учесть только оптические ветви, частоту которых мы полагаем равной ω₁, нужно вместо 3l писать число этих ветвей. В общем случае, частоты разных оптических ветвей могут сильно отличаться друг от друга и их вклад в энергию и теплоемкость нужно учитывать отдельно.

4.2. Модель Дебая

Опыт показывает, что теплоемкость действительно падает с уменьшением температуры, но не экспоненциально, а пропорционально T³. Дело в том, что при любых, сколь угодно низких температурах в кристалле найдутся колебания, энергия фонона которых меньше k_BT. Это – длинноволновые акустические колебания. Именно такие колебания, точнее те из них, частота которых меньше k_BT/ħ, вносят основной вклад в энергию при низких температурах. Колебания с большими частотами (оптические и более коротковолновые акустические) ''заморожены'': фононов этих колебаний экспоненциально мало.

Сделаем простую оценку. Вклад в энергию вносят фононы, энергия которых меньше kT. Пусть скорость звука j-й акустической ветви равна

_j и не зависит от направления волнового вектора: ω = _j|k|. Тогда вклад в энергию дают колебания с волновыми векторами, меньшими k_max = k_BT/(ħ _j). Плотность разрешенных значений волновых векторов в k-пространстве кристалла равна V/(2π)³, поэтому внутри сферы радиуса k_max содержится разрешенных значений волновых векторов. Это число колебаний одной акустической ветви, вносящих существенный вклад в энергию. На каждое такое колебание приходится энергия порядка kT. Для энергии колебаний одной акустической ветви получаем:

(50).

Так как мы вычисляем энергию и теплоемкость единицы объема кристалла, то в (50) мы положили V = 1.

Таким образом, вклад одной акустической ветви в теплоемкость пропорционален T³:

(51).

Чтобы получить полную энергию и теплоемкость, надо сложить вклады от трех акустических ветвей:

(52),

где через

_j обозначена скорости звука j-й акустической ветви.