Колебания кристаллической решетки (стр. 2 из 5)
(14).Поэтому достаточно рассматривать волновые вектора, лежащие в первой зоне Бриллюэна –π/a<k<π/a. Крайние значения волнового вектора ±π/a соответствуют одному и тому же колебанию с минимальной длиной волны λ = 2π/k = 2a. При такой длине волны соседние атомы цепочки движутся в противофазе. Интуитивно ясно, что короче длина волны быть уже не может.
График зависимости ω(k) для одномерной цепочки с одним атомом в примитивной ячейке изображен на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Закон дисперсии колебаний цепочки с одним атомом в примитивной ячейке.Обсудим теперь особенности закона дисперсии (12).
Важным его свойством является то, что частота волн, распространяющихся по цепочке, ограничена частотой
. Чтобы оценить эту частоту, надо знать порядок величины постоянной γ.Посмотрим на размерность γ. Сила F равна произведению γ на смещение u, поэтому:
(15).Характерная длина, межатомное расстояние a, имеет порядок 1A = 10–8 cм. Характерная энергия – энергия, которую приобретает атом при смещении на расстояние порядка a. Ее можно оценить как энергию химической связи, которая по порядку величины равна 10 эВ. Таким образом:
(16).В качестве массы для оценки можно подставить величину 10Mp , где Mp≈ 1,67· 10–27 кг – масса протона.
Для ωmax получаем:
(17).Найдем длину волны электромагнитного излучения такой частоты:
(18).Электромагнитные волны с такой длиной принадлежат инфракрасному диапазону.
При ka/2<<1, когда длина волны λ = 2π/k много больше a, sin(ka/2)≈ ka/2, поэтому:
(19).Таким образом, длинноволновые колебания – это звуковые волны с линейным законом дисперсии ω =
|k|. Выше мы уже получали такой результат, заменив точное уравнение цепочки (2) волновым уравнением (3). Это и неудивительно: длинные волны ''не чувствуют'' дискретной структуры цепочки, цепочка ведет себя как непрерывная упругая среда. По этой причине скорость звука зависит только от макроскопических характеристик цепочки: линейной плотности, M/a, и упругой постоянной цепочки γ a – коэффициента пропорциональности между относительным удлинением цепочки и возникающей при этом силой натяжения: 
(20).Рассмотренные нами колебания одномерной цепочки называют акустическими, поскольку при k→ 0 (λ→∞) они соответствуют звуковым волнам.
Ниже мы увидим, что в цепочке с двумя (и более) атомами в элементарной ячейке наряду с акустическими могут распространяться волны другого типа.
При квантовомеханическом описании каждому колебанию соответствует квазичастица с импульсом p = ħ k и энергией
. Квазичастицы, соответствующие упругим колебаниям кристаллической решетки называются фононами. Фононы, соответствующие акустическим колебаниям, также называются акустическими.Оценим максимальную энергию акустического фонона в одномерной цепочке:
(21)Экспериментальные значения ħωmax в реальных кристаллах составляют 30 ч 40 мэВ.
Эта величина намного меньше большинства характерных электронных энергий (~ 1 эВ) и близка к тепловой энергии при комнатной температуре (kT≈ 0.025эВ, здесь k – постоянная Больцмана).
1.2.Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке
Исследуем теперь колебания цепочки, элементарная ячейка которой состоит из двух атомов с разными массами: M1 и M2, для определенности положим M1<M2. Период цепочки (расстояние между узлами ее решетки Браве) как и прежде обозначим через a (рис. 3). Для простоты будем считать, что ''пружинки'' соединяющие атомы имеют одинаковую жесткость γ.
Рис. 1. 3. Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке и ее решетка Браве.Запишем закон Ньютона для двух атомов n-й ячейки:
(22).Здесь un и vn – смещения соответственно маленького и большого атома n-й ячейки из положения равновесия.
Будем, как и в случае цепочки с одним атомом в примитивной ячейке, искать решение в виде плоской гармонической волны:
(23).Амплитуды колебаний маленького и большого атомов A и B в общем случае разные как по абсолютной величине, так и по фазе.
После подстановки (23) в (22) получим линейную однородную систему уравнений для A и B:
–M1ω2A=γ(Beika+B–2A)
–M2ω2B=γ(A+Ae–ika–2B) (24).
Перепишем ее в стандартном виде:
(25)Такая система имеет решения лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая нулю определитель (25) получим уравнение, связывающее ω и k, т. е. дисперсионное уравнение:
M1M2ω4 – 2γ(M1+M2)ω2+2γ2(1–cos ka) = 0 (26).
Это уравнение удобно переписать, использую приведенную массу атомов примитивной ячейки μ:
(27). 
(28) Его решения имеют вид:
(29)или
(30).Величина 4μ2/(M1M2) при любых M1, M2 не превосходит единицы, поэтому подкоренное выражение всегда неотрицательно.
1.3. Трехмерный кристалл
Мы рассмотрели колебания в одномерной цепочке. Подобным образом могут быть описаны и колебания решетки трехмерного кристалла.
Предположим, что примитивная ячейка кристалла состоит из l атомов. Каждый атом ячейки будем обозначать индексом s, этот индекс принимает l различных значений. Любой атом кристалла однозначно определяется радиус-вектором
, задающим положение ячейки (соответствующего узла решетки Браве), и индексом s, характеризующим положение атома внутри ячейки (тип атома).Смещение атомов при колебаниях решетки является линейной комбинацией плоских гармонических волн (точнее, их вещественных частей):
(40).Частота колебаний одинакова для всех атомов кристалла. Амплитуда колебаний зависит от типа атома (индекса s), тоесть одинакова для всех однотипных атомов. Направление вектора амплитуды может, вообще говоря, быть каким угодно.
Индекс j обозначает ветвь колебаний. Волновой вектор
и ветвь j однозначно определяют частоту и относительные амплитуды атомов всех типов. Для каждой ветви зависимости 
и 
являются непрерывными функциями.Если примитивная ячейка кристалла содержит l атомов, то число ветвей равно 3l. Таким образом, каждому значению волнового вектора соответствуют 3l разных колебаний.
Три из этих ветвей – акустические, в предельном случае длинных волн их частота пропорциональна длине волнового вектора ω =
|k|. Однако скорость звука зависит от направления распространения волны, то есть от направления вектора . В случае длинноволновых акустических колебаний амплитуды всех атомов примитивной ячейки примерно одинаковы.Остальные 3l–3 ветвей – оптические , при
их частота отлична от нуля.По направлению амплитуды относительно волнового вектора акустические колебания можно разделить на продольное и два поперечных. Как правило, скорость звука у продольного колебания больше, чем у поперечных.