Оптика и элементы атомной физики (стр. 12 из 19)

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела было найдено в 1900 г. великим немецким физиком Максом Планком. Для этого ему пришлось отказаться от положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться только непрерывно, т.е. может принимать сколь угодно близкие значения. Согласно же выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомы излучают энергию не непрерывно, а определёнными порциями – квантами, причём энергия кванта пропорциональна частоте колебания: e_о = hv = hc/l, где h = 6.625×10^-34 Дж×с – постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия атомного осциллятора e может принимать лишь определённые дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e_о: e = nhv (n = 0,1,2,3,…).

Формула Планка, которая блестяще согласуется с экспериментальными данными, имеет следующий вид:

r(v,T) =

Эта формула, ни много ни мало, ознаменовала новую эру в физике. Она описывает распределение энергии в спектрах излучения чёрного тела во всём интервале частот и температур. Впервые Планк изложил теоретический вывод этой формулы в 1900 г. – этот день и стал днём рождения квантовой физики. Всё дело заключается во введении кванта излучения – hv.

Из формулы Планка выводятся все законы теплового излучения:

1) В области малых частот, т.е. при hv<<kT (энергия кванта мала по сравнению с энергией теплового движения), формула Планка совпадает с формулой Рэлея-Джинса. Разложим экспоненту в ряд, ограничившись двумя членами разложения:

e^hv/kT» 1 +

e^hv/kT – 1 »

Подставляя последнее выражение в формулу Планка, получим, что

R(v,T) »

то есть, получили формулу Рэлея-Джинса.

Из формулы Планка можно вывести и закон Стефана-Больцмана.

R_e=

Введём безразмерную величину x = hv/kT, тогда dx = hdv/kT, и предыдущая формула преобразуется к виду:

R_e =

где s =

так как Таким образом, из формулы Планка следует и закон Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина получим также из формулы Планка:

r(l,T) =

откуда

Значение l_max, при котором функция достигает максимума, найдём, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x = hc/(kTl_max), получим уравнение:

xe^x – 5(e^x – 1) = 0.

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений даёт x = 4.965, откуда Tl_max= hc/(4.965 k) = bили l_max = b/T, то есть закон Вина.

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, kи c, можно вычислить постоянные Стефана-Больцмана s и Вина b. С другой стороны, зная экспериментально найденные значения s и b, можно вычислить значения hи k (именно так и было впервые получено значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментом, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Её решение стало возможно революционной квантовой гипотезе Планка.

ТЕМА 8: Оптическая пирометрия.

§ 22. Оптическая пирометрия

Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскалённых и самосветящихся тел (например, звёзд). Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости тел от температуры, называются методами оптической пирометрии. Приборы же для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называются пирометрами. В зависимости от того, какой закон теплового излучения используется при измерении температуры тел, различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.

1. Радиационная температура. Радиационная температура – это такая температура чёрного тела, при которой его энергетическая светимость R_eравна энергетической светимости R_T исследуемого тела. В данном случае регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана-Больцмана вычисляется его радиационная температура: T_p =

Радиационная температура T_pтела всегда меньше его истинной температуры T. Для доказательства этого предположим, что исследуемое тело является серым. Тогда, используя предыдущие выражения, можно записать R

A_TR_e = A_TsT⁴.

С другой стороны, R

sT_p⁴. Из сравнения этих выражений следует, что T_p = И, поскольку A_T < 1, то T_p< T, то есть истинная температура всегда выше радиационной.

2. Цветовая температура. Для серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная плотность энергетической светимости R(l,T) = A(T)×r(l,T), где A(T) = const<1. Следовательно, распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре чёрного тела, имеющего ту же температуру, поэтому к серым тела применим закон смещения Вина. Зная длину волны l_max, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости R(l,T) исследуемого тела, можно определить его температуру T_ц = b/l_max, которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Для тех тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл! Таким способом определяется, например, температура на поверхности Солнца (T_ц ~ 6500 K) и звёзд.

3. Яркостная температура. Яркостная температура – T_я, это температура чёрного тела, при которой для определённой длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, то есть r(l,T_я) = R(l,T), где Т – истинная температура тела. По закону Кирхгофа, для исследуемого тела при длине волны lR(l,T)/A(l,T) = r(l,T), или A(l,T) = r(l,T_я)/r(l,T). Так как для нечёрных тел A<1, то r(l,T_я)<r(l,T) и, следовательно, T_я<T, то есть истинная температура тела всегда выше яркостной.

§ 23. Методы оптического измерения температуры.

1.

Метод суммарной радиации. Этот метод основан на измерении суммарной радиации E_Tс помощью так называемого радиационного пирометра. Схема такого пирометра рефлекторного типа представлена на рисунке.