Электричество и магнетизм (стр. 6 из 24)

Теоретическая часть

Проводники во внешнем электрическом поле

Проводниками называются материальные тела, в которых при наличии электрического поля возникает движение зарядов, т.е. электрический ток. Закон, связывающий силу тока протекающего по проводнику с разностью потенциалов, приложенной к его концам, был открыт экспериментально Г.С. Омом, дифференциальная форма которого имеет вид:

ј=γΕ,

где ј=I/S – плотность тока, а γ=1/ρ – удельная электрическая проводимость, зависящая от свойств материала, Е – напряженность электрического поля на концах проводника. По значению удельной электропроводности γ материалы делят на три класса: диэлектрики, полупроводники и проводники.

а) диэлектрики - вещества с малой электрической проводимостью. Идеальный диэлектрик характеризуется отсутствием проводимости, однако это может осуществиться лишь при 0 К. При температуре, отличной от 0 К, все материалы обладают определенной проводимостью и, следовательно, идеальных диэлектриков нет; диэлектриком принято называть материал, удельная электрическая проводимость которого γ < 10^-5 См/м

б) полупроводники имеют удельную электрическую проводимость

10^-5<γ<10³ См/м;

в) для проводников γ > 10³ См/м. В основном – это металлы. Наиболее хорошими проводниками среди них являются медь и серебро, у которых удельная электропроводность имеет порядок 10⁷ См/м.

В электростатике рассматривается случай неподвижных зарядов, когда ј=0, следовательно, Е=0, т.е. внутри проводника при электростатическом равновесии электрическое поле отсутствует.

Из дифференциальной формы теоремы Остроградского- Гаусса

divE=ρ/ε₀

следует, что при Е=0, ρ=0, т.е. внутри проводника отсутствуют объемные заряды. Это означает, что заряд проводника концентрируется на его поверхности в слое атомарной толщины. Конечно, внутри проводника имеются как положительные, так и отрицательные заряды, но они взаимно компенсируются и, в целом, внутренние области проводника нейтральны.

Если нейтральный проводник помещается во внешнее электрическое поле, то поверхностные заряды на проводнике перераспределяются так, что создаваемое ими внутри проводника поле полностью компенсирует внешнее поле, в результате чего суммарная напряженность поля внутри проводника равна нулю.

Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике при его помещении во внешнее электрическое поле называется электрической индукцией. В случае электростатического внешнего поля индукция называется электростатической.

Под влиянием внешнего поля происходит также перераспределение поверхностных зарядов и в случае, если проводник заряжен.

Выделим на поверхности проводника элемент поверхности ΔS и построим прямой цилиндр высотой h, пересекающий поверхность. Применим к этому цилиндру теорему Гаусса:

(5)

где S – поверхность цилиндра, Q – заряд в объеме цилиндра.

Внутри цилиндра заряд имеется только на поверхности проводника и характеризуется поверхностной плотностью

σ и, следовательно, Q= σS. Внутри проводника поле равно нулю, поэтому поток Е через часть поверхности цилиндра, находящуюся в объеме проводника, равен нулю. Поток через часть поверхности цилиндра, находящуюся вне проводника слагается из потоков через основание цилиндра и его боковую поверхность. В пределе высоту h цилиндра возьмем сколь угодно малой (h→0), следовательно, и площадь боковой поверхности цилиндра и поток Е через боковую поверхность будут сколь угодно малыми. Поэтому в пределе h→0 останется лишь поток через основание цилиндра:

, (6)

где Е_n – нормальная компонента Е. Положительным направлением нормали в теореме Гаусса считается внешняя нормаль к замкнутой поверхности. В рассматриваемом случае это означает, что положительная нормаль направлена во внешнюю сторону от поверхности проводника. При h→0, с учетом (6) равенство (5) примет вид:

,

откуда

.

Таким образом, нормальная компонента напряженности поля у поверхности проводника однозначно определяется поверхностной плотностью зарядов.

Найдем тангенциальную составляющую вектора напряженности Е_τ. Рассмотрим замкнутый контур L, пересекающий поверхность проводника, верхняя часть которого идет параллельно поверхности вне проводника, а внутренняя часть – внутри проводника (рис 1). Внутри проводника напряженность Е=0, следовательно, отсутствует и тангенциальная компонента поля. Допустим, вне проводника Е_τ≠0. Возьмем положительный заряд, и будем перемещать его по замкнутому контуру в направлении, указанном на рис. 1 стрелками. На участке АВ поле совершает положительную работу. Участки ВС и ДА могут быть сколь угодно малыми, следовательно, и работа может быть сколь угодно малой. При перемещении заряда на участке СД работа равна нулю, т.к. поле внутри проводника отсутствует. Таким образом, в результате перемещения заряда по замкнутому контуру электрическое поле производит положительную работу и больше в системе никаких изменений не происходит, что противоречит закону сохранения энергии. Следовательно, тангенциальная компонента напряженности поля должна быть равна нулю. Другими словами, равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля у поверхности проводника является следствием потенциальности электростатического поля и отсутствия поля внутри проводника.

Равенство Е_τ= 0 означает, что напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника направлено перпендикулярно поверхности и равно σ/ε₀.

Из равенства нулю поля внутри проводника следует, что во всех точках проводника потенциал имеет одно и то же значение, т.е. любой проводник в электростатическом поле представляет собой эквипотенциальную область и его поверхность является эквипотенциальной.

Итак, в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет – вещество внутри проводника электрически нейтрально. Поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри проводника (создание замкнутой полости) поля нигде не изменит, т.е. никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Это значит, что избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью также как и на сплошном – по его наружной поверхности.

Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней равно нулю. Внешние заряды, в частности, заряды на наружной поверхности проводника не создают в полости внутри проводника никакого электрического поля. Именно на этом основана электростатическая защита – экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Практически сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической сеткой.

Рассмотрим случай, когда полость не пустая, а в ней есть какой -то электрический заряд Q. Пусть внешнее пространство заполнено проводящей средой. Поле в ней при равновесии равно нулю, значит, среда электрически нейтральна. Так как поле внутри проводника равно нулю, то равен нулю и поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую полость. По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности также равна нулю. Таким образом, алгебраическая сумма индуцированных зарядов на поверхности полости равна по модулю и противоположна по знаку алгебраической сумме зарядов внутри этой полости.

При равновесии заряды, индуцированные на поверхности полости, располагаются так, чтобы полностью скомпенсировать снаружи полости поле зарядов, находящихся внутри полости.

Поскольку проводящая среда внутри электрически нейтральна, то она не оказывает никакого влияния на электрическое поле, поэтому если ее удалить, оставив только проводящую оболочку вокруг полости, от этого поле нигде не изменится и вне оболочки оно останется равным нулю. То есть, поле зарядов окруженных проводящей оболочкой и зарядов, индуцированных на поверхности полости равно нулю во всем внешнем пространстве.

Замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от друга. Это надо понимать так: после любого перемещения зарядов внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет, а значит, распределение зарядов на внешней поверхности оболочки останется прежним. То же относится и к полю внутри полости (если там есть заряды) и к распределению индуцированных на стенках полости зарядов – они также останутся неизменными в результате перемещения зарядов вне оболочки. Это справедливо в рамках электростатики.

Электростатический вольтметр

Принцип действия вольтметра основан на электростатическом взаимодействии заряженных проводников. Измерительный механизм прибора состоит из неподвижного электрода 1 (рис 2), представляющего собой металлическую камеру, и подвижного алюминиевого электрода 2 в форме пластинки. Камера укреплена на изоляционной колонке 3 из вещества, обладающего большим сопротивлением на высоких частотах (керамики стеатита). Пластинка 2 закреплена на оси 4, которая установлена вертикально с помощью двух нитей 5 из бронзы (растяжки). Пружины 6, укрепленные на стойке 7, растягивают эти нити. Измеряемое напряжение подводится одним полюсом к камере, а другим – к пластинке. Камера и пластинка заряжаются